Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Bonjour,

Un échange sur une autre rubrique du site m'a incité a poser  le sujet suivant :

Un ensemble E de points de l'espace ordinaire est:

- convexe, lorsque pour tous points A, B de E le segment [A B] est inclus dans E

- étoilé par rapport à un point I lorsque pour tout point M de E, le segment [IM] est inclus dans E.
On dit que E est étoilé si au moins un tel point I existe.

Saurez-vous trouver dans l'espace à trois dimensions au moins une partie E telle que:

- E est étoilé
- E n'est pas convexe
- l'ensemble des points I par rapport auxquels E est étoilé est convexe

Bonne chance

Dernière modification par bridgslam (11-09-2025 14:53:11)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Bonjour,

Des idées ?

▼indice restreint

On peut penser à un jeu (acrobatique)  avec une ficelle...

▼une solution parmi d'autres

Il y en a sans doute plusieurs, mais cet ensemble  est particulièrement ludique:
https://www.geogebra.org/3d/yepx3zr3
( A condition de l'imaginer plein)

Quels sont ses centres I ?

▼une idée

Si on prolonge chaque tronc de cône dans l'autre, la partie entière pleine,  obtenue,
en forme de cornets de glaces (vides de glace!) renversés l'un sur l'autre,
est la zone des centres d'"étoilement".
Elle est convexe, contrairement  au diabolo.

Amusant non?

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 184

Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Bonjour à tous et à toutes !

Une réponse assez simple :

▼Texte caché

La réunion $E$ des segments $[-1, 1] \times \{ 0 \} \times \{ 0 \}$, $\{ 0 \} \times [-1, 1] \times \{ 0 \}$ et $\{ 0 \} \times \{0 \} \times [-1, 1]$ fonctionne très bien :
- $E$ est étoilé par rapport à l'origine.
- $E$ n'est pas convexe.
- $E$ n'est étoilé que par rapport à l'origine, et un singleton est évidemment convexe.

E.

Dernière modification par Eust_4che (11-09-2025 16:15:42)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 854

Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Bonjour à tous !

Tiens tiens, ça me parle ...

Moi j'aime les polyèdres convexes, que l'on prolonge par étoilements.

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (12-09-2025 10:31:11)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 901

Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Bonsoir ,

A vrai dire j'avais essayé de dégoter un objet pas trop "filaire", et dont l'ensemble des centres  ne se résumasse pas à un simple croisement ( en évitant ,en ce qui concerne les cônes, juste un sommet commun).
Du coup l'idée du diabolo avec un disque central non réduit à un point m'a conduit à penser que la recherche des centres ferait l'objet d'une seconde question avec un peu de sel , supputant qu'un nombre non négligeable de lecteurs répondrait en désignant juste le disque central, au lieu du double cornet plein.
Enigme bonus: mon hypothèse était-elle si utopique?
Je pense que les énigmes valables sont parfois celles où l'"évidence même" qui saute  aux yeux nous fourvoit complètement...
et celle-ci en était une "tentative" (pour la seconde question),
une petite intuition géométrique étant demandée pour bien cerner les centres d'"étoilage".
Au final qui est la "star" entre un champion de diabolo et le diabolo ? Les deux ! Ou plutôt l'un est la star et l'autre l'étoile !

Bonne fin de soirée.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 854

Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Bonjour à tous !

Inspiré d'une fleur à pétales ronds ...

Voici un triangle et les cercles passant par 2 sommets, et tangents entre eux aux sommets.
La figure pleine n'est pas convexe, mais est-ell étoilée ?

On peut faire la même chose en 3D avec un tétraèdre et les 4 boules passant par 3 sommets et tangentes en ces sommets ...

Bernard-maths

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 234

Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Bonjour à tous,
D'après la définition donnée par bridgslam dans le message #1, il me semble que cette figure est effectivement étoilée, puisqu'il existe un point, le point central I intersection des trois cercles, à partir duquel on peut tracer un segment de droite vers n'importe quel point de la figure, comme à partir d'un point d'un cercle on peut joindre n'importe quel point du disque intérieur à ce cercle.
Bien amicalement, JLB
Edit : Non, je n'avais pas bien regardé la figure de Bernard, ce n'est pas un point, mais un deltoïde, un triangle curviligne, qu'il y a au centre de cette figure. Et je pense qu'au moins le centre de ce deltoïde répond aux exigences de la définition.

Dernière modification par jelobreuil (13-09-2025 09:14:35)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 854

Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Essaye de faire le tracé !

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 854

Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu

Voilà 3 figures évolutives selon la tangence ou l'intersection des cercles :

Il en manque une 4ème avec intersection des 3 cercles donnant un triangle "curviligne" intérieur aux cercles ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (13-09-2025 16:01:09)