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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 31-10-2024 12:22:19
- ccapucine
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- Messages : 185
Support d'une fonction
Bonjour,
j'ai l'exercice suivant:
On considère la fonction $\psi_{a,b}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\psi_{a,b}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}$ si $x \in ]a,b[$ et 0 si $x \notin ]a,b[$.
1- Déterminer le support de $\psi_{a,b}.$
2- On définit la fonction $f= \psi_{2,3} + \psi_{5,6}$
Montrer que $f \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et déterminer $\mathrm{Supp} \ f$.
Pour la question 1, on a $\mathrm{Supp} \ \psi_{a,b}= [a,b].$
Pour la question 2, $f$ est de classe $C^{\infty}$ car elle est la somme de deux fonctions de classe $C^{\infty}$.
Ensuite, on a $\mathrm{Supp} \ f \subset \mathrm{Supp} \psi_{2,3} \cup \mathrm{Supp} \psi_{5,6}= [2,3] \cup [5,6]= K.$
Comme $K$ est compact, alors $\mathrm{Supp} \ f$ est compact.
Pour la question: calculer $\mathrm{Supp} f$. Comment on le calcule? S'il vous plaît.
Merci d'avance
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#2 31-10-2024 12:40:38
- DeGeer
- Membre
- Inscription : 28-09-2023
- Messages : 97
Re : Support d'une fonction
Bonjour
Tu viens de montrer que le support de $f$ est inclus dans $K=[2,3]\cup [5,6]$. Il reste à voir si cette inclusion est stricte.
Sinon, je ne sais pas s'il est acquis que les fonctions $\psi_{a,b}$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ ou s'il faut le démontrer.
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#3 31-10-2024 12:53:13
- ccapucine
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- Messages : 185
Re : Support d'une fonction
Déjà, écrivons la définition de la fonction $f$.
On a:
$\psi_{2,3}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-2)(x-3)})$ si $x \in ]2,3[$ et 0 sinon
$\psi_{5,6}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-5)(x-6)})$ si $x \in ]5,6[$ et 0 sinon
Mais comment écrire l'expression de $f(x)= \psi_{2,3}(x) + \psi_{5,6}(x)$?
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#4 31-10-2024 13:03:04
- DeGeer
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- Messages : 97
Re : Support d'une fonction
Est-ce que $x$ peut appartenir à la fois à $]2,3[$ et à $]5,6[$?
Il suffit alors de distinguer les cas suivant que $x$ appartient à $]2,3[$, à $]5,6[$, ou à aucun de ces intervalles.
Dernière modification par DeGeer (31-10-2024 13:04:44)
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#5 31-10-2024 14:55:16
- yoshi
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- Messages : 17 147
Re : Support d'une fonction
Bonjour ccapucine,
- Hors sujet -
Ici https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=17530 tu as nous avais soumis un exercice intéressant (sic. "Sic", parce que tu as employé cet adjectif) et pour lequel tu regrettais que, sur le forum d'où il provenait, il n'ait pas reçu de réponse...
Cet exercice que tu nous as soumis, s'il a reçu chez nous des réponses de notre part, nous, nous ignorons encore :
- si tu as lu ces réponses,
- si elles t'ont donné satisfaction,
- s'il reste des points à éclaircir...
Si tu pouvais y penser, ce serait bien ... ;-)
Yoshi
- Modérateur -
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