Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

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Support d'une fonction

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant:
On considère la fonction $\psi_{a,b}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\psi_{a,b}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}$ si $x \in ]a,b[$ et 0 si $x \notin ]a,b[$.
1- Déterminer le support de $\psi_{a,b}.$
2- On définit la fonction $f= \psi_{2,3} + \psi_{5,6}$
Montrer que $f \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et déterminer $\mathrm{Supp} \ f$.

Pour la question 1, on a $\mathrm{Supp} \ \psi_{a,b}= [a,b].$
Pour la question 2, $f$ est de classe $C^{\infty}$ car elle est la somme de deux fonctions de classe $C^{\infty}$.
Ensuite, on a $\mathrm{Supp} \ f \subset \mathrm{Supp} \psi_{2,3} \cup \mathrm{Supp} \psi_{5,6}= [2,3] \cup [5,6]= K.$
Comme $K$ est compact, alors $\mathrm{Supp} \ f$ est compact.

Pour la question: calculer $\mathrm{Supp} f$. Comment on le calcule? S'il vous plaît.

Merci d'avance

DeGeer

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Re : Support d'une fonction

Bonjour
Tu viens de montrer que le support de $f$ est inclus dans $K=[2,3]\cup [5,6]$. Il reste à voir si cette inclusion est stricte.
Sinon, je ne sais pas s'il est acquis que les fonctions $\psi_{a,b}$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ ou s'il faut le démontrer.

ccapucine

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Re : Support d'une fonction

Déjà, écrivons la définition de la fonction $f$.
On a:
$\psi_{2,3}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-2)(x-3)})$ si $x \in ]2,3[$ et 0 sinon
$\psi_{5,6}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-5)(x-6)})$ si $x \in ]5,6[$ et 0 sinon
Mais comment écrire l'expression de $f(x)= \psi_{2,3}(x) + \psi_{5,6}(x)$?

DeGeer

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Re : Support d'une fonction

Est-ce que $x$ peut appartenir à la fois à $]2,3[$ et à $]5,6[$?
Il suffit alors de distinguer les cas suivant que $x$ appartient à $]2,3[$, à $]5,6[$, ou à aucun de ces intervalles.

Dernière modification par DeGeer (31-10-2024 13:04:44)

yoshi

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Re : Support d'une fonction

Bonjour ccapucine,

- Hors sujet -
Ici https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=17530 tu as nous avais soumis un exercice intéressant (sic. "Sic", parce que tu as employé cet adjectif) et pour lequel tu regrettais que, sur le forum d'où il provenait, il n'ait pas reçu de réponse...

Cet exercice que tu nous as soumis, s'il a reçu chez nous des réponses de notre part, nous, nous ignorons encore :
- si tu as lu ces réponses,
- si elles t'ont donné satisfaction,
- s'il reste des points à éclaircir...

Si tu pouvais y penser, ce serait bien ... ;-)

      Yoshi
- Modérateur -

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