ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Ernst · 21-10-2024 22:57:46

Bonsoir,

Et voilà, c’est fait, j’ai modifié > la page de recherche < selon ton souhait et j'ai mis le code > ici <. Ne connaissant pas Javascript, je demande à un assistant numérique, ici Perplexity, de faire puis de modifier le code et il le fait sans problème, exemple pour ce point précis à partir du code existant :

Je souhaite ajouter une fonctionnalité : une case à cocher « a = 0 ». Si elle est cochée (par défaut) garder le code comme tel, si elle est décochée, passer directement de l'exploration a = -1 à a = 1 sans plus examiner le cas où a = 0. C'est faisable, un code complet ?

Poum, il me sort l'ensemble qu'il me suffit de mettre dans le presse-papier. Pour le site même chose, pour peu qu’on ait un compte Google on peut utiliser Google Sites qui propose de faire un site Web à partir de templates de base. Suffit d'en choisir un minimaliste, d'intéger le code dans une page vierge et de récupérer le lien après publication.

Plus simple, je ne vois pas...

Ernst · 23-10-2024 13:22:17

Bonjour,

Il y a quelque chose de bizarre avec cette équation, elle ne réagit pas du tout comme je le pensais.

Dans un premier temps, je cherche toutes les solutions entières dans un intervalle, ok, j’en trouve un sacré paquet dont la distribution semble suivre une structure que l’on peut grossièrement résumer en « beaucoup près des zéros et de moins en moins ensuite avec des petits sauts et des écarts bizarres ».

Dans un deuxième temps, je cherche des solutions cette fois décimales dans un intervalle plus réduit vu l’augmentation de l’exploration, et là grosse surprise, j’obtiens le même nombre de solutions et la même distribution avec [-5 … 5] et des pas de 0.1 qu’avec [-50 … 50] et des pas de 1.

Hein ?

Dans un troisième temps, je prends deux-trois solutions précises et j’essaie avec des multiplicateurs quelconques : incroyable, ça marche, c’est toujours pareil ! J’ai mis > ici une page < qui montre bien le truc, suffit de ré-actualiser dans le navigateur pour obtenir différents tirages aléatoires du coefficient multiplicateur, qu'importe puisque le résultat de la formule avec les nouvelles valeurs est toujours égal à zéro.
(ce qui en passant me fait penser aux triplets de Pythagore, à savoir des triplets distincts et valides pour tous les multiples)

Bon, perso je ne dispose pas des outils théoriques pour explorer ce comportement, mais ce n’est pas juste une équation avec $n$ racines distinctes, il y a autre chose…

Borassus · 23-10-2024 18:34:58

Bonsoir Ernst, bonsoir à tous qui venez visiter cette (intéressante) discussion,

Excuse-moi, je ne t'ai pas répondu hier car j'étais quelque peu à hue et à dia. (Les vacances scolaires intermédiaires ne sont pas forcément synonymes de vacances pour moi...)

Tout d'abord, je suis impressionné d'avoir éveillé un tel intérêt de recherche ! Merci, Ernst, de ta curiosité !

Je n'ai pas encore fait connaissance avec Perplexity, mais je sens que je vais rapidement l'essayer, et comparer avec ChatGPT.
Merci du tuyau.

Pour ce qui est du facteur multiplicatif,
si $a' = ka$ , $b' = kb$ , $c' = kc$ et $d' = kd$,

$b'^3 - 4a'b'c' + 8a'^2d' = k^3(b^3 - 4abc + 8a^2d)$

Donc, si $b^3 - 4abc + 8a^2d = 0$ , $b'^3 - 4a'b'c' + 8a'^2d' = 0$ ,
et si $b^3 - 4abc + 8a^2d \ne 0$ , $b'^3 - 4a'b'c' + 8a'^2d' \ne 0$ .

(A moins que je n'aie pas bien compris ce qui t'intrique.)

Bon, perso je ne dispose pas des outils théoriques pour explorer ce comportement [...]

Je me suis posé la même question : existe-t-il des fondements théoriques permettant de traiter des "fonctions implicites" de variables entières élevées à des puissances entières naturelles, par exemple $f(a^{\alpha}, b^{\beta}, c^{\gamma}, d^{\delta}) = 0$ ?

J'ai recopié la question et l'ai soumise à Chat.

Voici sa réponse :

Oui, il existe des fondements théoriques solides pour traiter des fonctions implicites avec des variables entières élevées à des puissances entières naturelles, comme dans l'exemple $f(a^{\alpha}, b^{\beta}, c^{\gamma}, d^{\delta}) = 0$. Ces fondements relèvent principalement de la théorie des fonctions implicites et de domaines connexes comme la géométrie algébrique et la théorie des systèmes polynomiaux. Voici un aperçu des outils théoriques disponibles pour analyser ces types de fonctions :

1. Théorème des fonctions implicites :
Ce théorème fournit un cadre général pour étudier les fonctions implicites. Il garantit que sous certaines conditions, une relation implicite entre des variables peut être résolue localement pour certaines variables en fonction des autres.
Dans un contexte avec des puissances entières, si $f(a^{\alpha}, b^{\beta}, c^{\gamma}, d^{\delta}) = 0$ représente une équation qui satisfait certaines conditions de régularité (par exemple, que la fonction est différentiable et que le déterminant de la matrice jacobienne n'est pas nul), alors on peut résoudre l'une des variables, disons $a$, en fonction des autres variables $b$, $c$ et $d$.

2. Systèmes d'équations polynomiales :
Dans votre exemple, les puissances $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\delta$ sont des entiers naturels, ce qui signifie que l'équation peut souvent être vue comme une équation polynomiale dans les variables $a$, $b$, $c$$ et $d$. La théorie des systèmes d'équations polynomiales offre plusieurs outils pour traiter ces problèmes :
Méthode de résolution de Groebner : Cette méthode est utilisée pour résoudre des systèmes polynomiaux complexes en réduisant les équations à une forme plus simple.
Théorème de Bézout : Ce théorème énonce qu'un système de $n$ équations polynomiales de degré $d$ en $n$ variables admet un nombre de solutions qui est au plus le produit des degrés des polynômes (sous certaines conditions). Cela peut être utile pour estimer le nombre de solutions à une équation implicite complexe comme celle donnée.

3. Géométrie algébrique :
Lorsque les fonctions implicites impliquent des puissances entières, on entre dans le domaine de la géométrie algébrique, qui s'intéresse aux variétés algébriques (ensembles de solutions d'équations polynomiales). La géométrie algébrique fournit des outils pour étudier les solutions d'équations polynomiales, même si celles-ci ne peuvent pas être résolues de manière explicite. Quelques concepts clés dans ce contexte :
Singularités : Les points où les équations polynomiales deviennent difficiles à résoudre peuvent être des points singuliers. La géométrie algébrique aide à comprendre la structure de ces points et à les analyser.
Régularité et non-singularité : Les conditions de régularité (l'analogue du fait que le déterminant de la matrice jacobienne ne soit pas nul dans le théorème des fonctions implicites) sont importantes pour savoir si une variable peut être résolue en fonction des autres.

4. Systèmes diophantiens :
Lorsque les variables $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers, le problème entre dans la catégorie des équations diophantiennes. Ici, la résolution des équations peut devenir extrêmement complexe, et il existe des outils spécifiques pour traiter ce genre de problèmes :
Méthode de descente infinie : Utilisée pour résoudre certaines équations diophantiennes en réduisant progressivement les solutions possibles.
Loi de réciprocité : Utilisée dans certaines équations diophantiennes pour déterminer l'existence ou non de solutions entières.

Résumé :
Si l'équation est différentiable et que certaines conditions de régularité sont vérifiées, le théorème des fonctions implicites peut garantir l'existence de solutions locales.
Si l'équation est polynomiale avec des puissances entières, la théorie des systèmes polynomiaux et des outils comme les bases de Groebner ou le théorème de Bézout sont utiles.
En géométrie algébrique, on peut analyser les solutions en termes de variétés algébriques, ce qui permet de comprendre la structure des solutions.
Si les variables sont des entiers, la théorie des systèmes diophantiens fournit des outils spécifiques pour étudier ces équations.

Bonne soirée. (Et bonne digestion. :-)
Bien cordialement,
Bor.

Ernst · 23-10-2024 22:47:42

Borassus a écrit :

Je n'ai pas encore fait connaissance avec Perplexity, mais je sens que je vais rapidement l'essayer, et comparer avec ChatGPT.
Merci du tuyau.

Bonsoir Borassus,

Il commence à y en avoir quelques uns comme you.com, copilot.microsoft.com, gemini.google.com, yiaho.com/ia-generateur-de-code et peut-être d’autres encore. L’idée de base, c’est d’être à l’aise avec celui que l’on choisit. Perplexity repart à zéro à chaque nouvelle discussion, et avec la même demande il lui arrive de sortir des présentations et des codes tout à fait différents, ce qui n’est pas toujours agréable.

Là où il est utile, c’est quand il s’agit de coder un algorithme dans un langage donné. Beaucoup d’erreurs à la compilation, qu’il rectifie avec plus ou moins de bonheur. Les solutions qu’il choisit ne sont pas toujours très heureuses, mais d’autres fois il est capable de pondre des routines récursives d’une complexité redoutable sans se planter dans les paramètres. Bref, cette inconstance est tout à fait étonnante.

Ernst · 23-10-2024 22:59:21

Borassus a écrit :

(A moins que je n'aie pas bien compris ce qui t'intrique.)

Bonsoir,

Ce qui me choque dans l’histoire, c’est que normalement, si on a une équation avec plusieurs variables indépendantes et que certaines valeurs sont solutions de l’équation, ce n’est pas pour autant que l’on peut multiplier ces valeurs par un nombre quelconque.

Pour simplifier prenons x³ - y² = 0. On remarque que x = 9 et y = 27 est solution de l’équation, mais si je multiplie x et y par 2, j’obtiens 18³ – 54² = 2916 qui n’est pas solution. Ou bien x = 1 et y = 1 est aussi solution de l’équation, mais pas 2³ – 2² = 4. Tout cela pour dire qu'avec une équation standard il n’y a aucune raison qu’on puisse multiplier les valeurs-solutions au petit bonheur la chance et rester raccord avec le zéro.

Or ici ça le fait tout le temps.

Je pense que dans cette équation les différents termes sont liés d’une façon ou d’une autre et qu'une action particulière sur un terme se trouve automatiquement neutralisée. Dans mon esprit cela veut dire que l’écriture de la formule ici est d’une complexité apparente, un peu comme dans les jeux où il faut penser à un nombre, lui faire subir toute une série d’opérations, et qu’à la fin on tombe sur le nombre de départ.

Borassus · 24-10-2024 00:06:28

Bonsoir Ernst (ou bonjour vu l'heure tardive),

Je comprends maintenant mieux ce qui t'intrigue.

Dans ton premier exemple, $9 = 3^2$ et $27 = 3^3$

Donc $9^3 - 27^2 = (3^2)^3 - (3^3)^2 = 3^6 - 3^6 = 0$

(On peut s'amuser à créer sur ce modèle une tripotée d'équations telles que, soyons fous, $x^3 - y^7 = 0$, avec comme solution $19 \: 487 \: 171$ et $1 \: 331$. :-)

Si maintenant on multiplie les deux valeurs par un nombre $k$ quelconque, on a
$(k \times 3^2)^3 - (k \times 3^3)^2 = k^3 \times 3^6 - k^2 \times 3^6 = (k^3 - k^2) \times 3^6 = k^2(k - 1) \times3^6$ qui n'est nul que si $k = 0$ ou $k = 1$.

Or, dans l'équation qui nous préoccupe, la multiplication par un nombre $k$ quelconque se traduit par $k(b^3 - 4abc + 8a^2d)$.

Tu as peut-être raison : il s'agit peut-être d'une complexité apparente...

J'écrivais à un moment que la curiosité est un puissant moteur — d'ailleurs, une de mes maximes de signature l'énonce indirectement.
Ta démarche en est un bel exemple. :-)

Borassus · 24-10-2024 00:31:26

Or, dans l'équation qui nous préoccupe, la multiplication par un nombre $k$ quelconque se traduit par $k(b^3 - 4abc + 8a^2d)$

Ceci est dû au fait que la somme des puissances dans les trois termes $b^3$ , $4abc$ , $8a^2d$ est égale à 3, c'est-à-dire $4 - 1$, 4 étant le degré du polynôme devant présenter une symétrie (mais c'est peut-être fortuit ; j'essaierai de voir si pour un polynôme de degré 5, la somme des puissances des différents termes de la, ou des, conditions pour que le polynôme soit symétrique est égale à 4 ; intuitivement, c'est fort possible).

Donc, une expression (un peu délirante, j'en conviens) telle que $17a^4 b^5 c^6 - 283d^{11}b^4 + 189a^2d^{13}$ produirait probablement les mêmes observations.

Dernière modification par Borassus (24-10-2024 00:43:42)

Borassus · 24-10-2024 01:24:59

Cela signifie que si on multiplie les quatre coefficients principaux d'un polynôme de degré 4 symétrique par un nombre quelconque (pas forcément entier), on obtient... un polynôme de degré 4 symétrique.

Je citais le polynôme symétrique $2x^4 - 4x^3 + x^2 + x -2$.
Le polynôme $14x^4 - 28x^3 + 7x^2 + 7x - 2$ est lui aussi symétrique, ainsi que le polynôme $-6x^4 + 12x^3 - 3x^2 - 3x -2$.

Donc, la simulation génère en réalité des polynômes "identiques", "multiples" de quelques polynômes de base (par exemple, dont les coefficients principaux sont compris entre -5 et 5).

Cela explique sans doute aussi pourquoi dans ta simulation deux valeurs de $a$ opposées génèrent le même nombre de solutions.

Sur ce, je me couche, car il est 2 h 20. :-)

Borassus · 24-10-2024 07:59:32

Bonjour Ernst, bonjour à tous,

Je te suggère de limiter dans ta simulation le coefficient $a$ à 1 et au n premiers nombres premiers, et définir des intervalles, identiques ou non, pour les coefficients $b$, $c$ et $d$.

A partir de chacun des polynômes obtenus, on peut créer autant de polynômes symétriques qu'on souhaite en multipliant les quatre coefficients par un même nombre entier (pour rester dans les polynômes symétriques à coefficients entiers).

Bonne, belle et fructueuse journée à tous.

Dernière modification par Borassus (24-10-2024 08:04:24)

Ernst · 24-10-2024 20:26:50

Bonsoir,

Bon, je vais essayer de résumer ce que j’ai compris.

Au départ, tu considères un polynôme de la forme $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ et tu cherches les conditions d’une symétrie. Après diverses considérations, tu détermines que les paramètres doivent satisfaire l’équation $b^{3}-4abc+8a^{2}d=0$. Tu souhaites des valeurs entières pour les paramètres, et $a$ différent de zéro pour ne pas réduire le polynôme de départ au degré trois.

J’ai été surpris de constater que lorsqu’une solution était trouvée, elle pouvait être multipliée par un facteur quelconque et rester valide, ce qui permet déjà de ne tester que la moitié des possibilités, la multiplication par -1 donnant l’autre moitié, et ensuite d’éliminer toutes les solutions qui ne sont que de simples multiples.

Voici ce qu’il reste :

[ 1,-4, 2, 4] [ 1,-4, 3, 2] [ 1,-4, 4, 0] [ 1,-4, 5,-2] [ 1,-2,-4, 5]

[ 1,-2,-3, 4] [ 1,-2,-2, 3] [ 1,-2,-1, 2] [ 1,-2, 0, 1] [ 1,-2, 1, 0]

[ 1,-2, 2,-1] [ 1,-2, 3,-2] [ 1,-2, 4,-3] [ 1,-2, 5,-4] [ 1, 0,-5, 0]

[ 1, 0,-4, 0] [ 1, 0,-3, 0] [ 1, 0,-2, 0] [ 1, 0,-1, 0] [ 1, 0, 0, 0]

[ 1, 0, 1, 0] [ 1, 0, 2, 0] [ 1, 0, 3, 0] [ 1, 0, 4, 0] [ 1, 0, 5, 0]

[ 1, 2,-4,-5] [ 1, 2,-3,-4] [ 1, 2,-2,-3] [ 1, 2,-1,-2] [ 1, 2, 0,-1]

[ 1, 2, 1, 0] [ 1, 2, 2, 1] [ 1, 2, 3, 2] [ 1, 2, 4, 3] [ 1, 2, 5, 4]

[ 1, 4, 2,-4] [ 1, 4, 3,-2] [ 1, 4, 4, 0] [ 1, 4, 5, 2] [ 2,-4,-3, 5]

[ 2,-4,-1, 3] [ 2,-4, 1, 1] [ 2,-4, 3,-1] [ 2,-4, 5,-3] [ 2, 0,-5, 0]

[ 2, 0,-3, 0] [ 2, 0,-1, 0] [ 2, 0, 1, 0] [ 2, 0, 3, 0] [ 2, 0, 5, 0]

[ 2, 4,-3,-5] [ 2, 4,-1,-3] [ 2, 4, 1,-1] [ 2, 4, 3, 1] [ 2, 4, 5, 3]

[ 3, 0,-5, 0] [ 3, 0,-4, 0] [ 3, 0,-2, 0] [ 3, 0,-1, 0] [ 3, 0, 1, 0]

[ 3, 0, 2, 0] [ 3, 0, 4, 0] [ 3, 0, 5, 0] [ 4,-4,-5, 3] [ 4,-4,-3, 2]

[ 4,-4,-1, 1] [ 4,-4, 1, 0] [ 4,-4, 3,-1] [ 4,-4, 5,-2] [ 4, 0,-5, 0]

[ 4, 0,-3, 0] [ 4, 0,-1, 0] [ 4, 0, 1, 0] [ 4, 0, 3, 0] [ 4, 0, 5, 0]

[ 4, 4,-5,-3] [ 4, 4,-3,-2] [ 4, 4,-1,-1] [ 4, 4, 1, 0] [ 4, 4, 3, 1]

[ 4, 4, 5, 2] [ 5, 0,-4, 0] [ 5, 0,-3, 0] [ 5, 0,-2, 0] [ 5, 0,-1, 0]

[ 5, 0, 1, 0] [ 5, 0, 2, 0] [ 5, 0, 3, 0] [ 5, 0, 4, 0]

Nombre de solutions : 89

Nombre total d'essais : 6655

Un mot sur les assistants numériques. Comme ils ont tendance à sortir un peu n’importe quoi, il faut croiser les résultats et les mettre devant les erreurs pour les voir améliorer leurs propositions, sans jamais être sûr du résultat final. Ici ils ont fini par tous proposer 89 solutions, mais est-ce un biais que j’ai induit, mystère...

Borassus · 24-10-2024 22:04:50

Bonsoir Ernst, bonsoir à tous

Merciii pour cette belle collection de polynômes symétriques, dont je me suis amusé à visualiser la première colonne sur GeoGebra !! :-)

Tu as parfaitement résumé !
Et c'est très plaisant de voir concrètement les combinaison ad hoc, et de pouvoir en choisir à souhait, voire d'en créer par simple multiplication par un entier.

J'ai été surpris de voir qu'il y a des combinaisons avec $a = 4$ qui soient autonomes : je pensais que ces combinaisons résulteraient systématiquement de combinaisons avec $a = 2$ multipliées par 2.

Note : Les polynômes bicarrés (c'est-à-dire avec $b = 0$ et $d = 0$) — à quand les polynômes bigarrés ? — sont systématiquement symétriques.
Si $c$ est positif, la courbe présente un seul extremum ; s'il est négatif, la courbe en présente trois.

Par ailleurs, la proportion est $\dfrac {89}{6655} \approx 1,34 \%$

Dernière modification par Borassus (24-10-2024 22:08:18)

Ernst · 25-10-2024 17:48:24

Hello Borassus,

Allez hop, une page qui permet de visualiser directement les solutions obtenues par des paramètres variant dans des plages distinctes.

C’est instructif de voir des structures qui ne sont pas du tout intuitives au niveau algébrique. Par exemple si on annule $b$ (min = max = 0), alors $d$ s’annule aussi et absolument tout le reste est solution ! Par contre si on annule $d$ ce n'est pas réciproque, il y a des solutions supplémentaires avec certaines valeurs de $b$ différentes de zéro, c’est fou.

Borassus · 25-10-2024 21:49:49

Hello Ernst, bonsoir tout le monde,

Là tu m'émerveilles !
Je ne me doutais pas en réactivant le sujet avec ma question que j'allais provoquer un tel intérêt et de tels développements ! Merci ! :-)

J'avais écrit au début de tes pages interactives qu'elles pouvaient devenir addictives.
Je confirme : on peut se laisser engloutir à essayer différentes combinaisons et à s'étonner de toutes les bizarreries, effectivement pas du tout intuitives, qu'on découvre.

Par exemple, pour les intervalles [1,1], [-4,4], [-4,4], [-3,3] le calcul génère 27 solutions (dont les solutions avec $b = 0$ entraînant $d = 0$ qui se se traduisent par « à partir du moment où $b = 0$, un polynôme de degré 4 ne peut être symétrique que si $d = 0$ », ce qui semble logique).

Mais ensuite, quelle que soit la borne inférieure en dessous de -4, par exemple -100, ou quelle que soit la borne supérieure au-delà de +4, par exemple 1000, on obtient toujours les mêmes 27 solutions. C'est fou.

Ernst · 25-10-2024 22:19:45

Bonsoir Borassus, bonsoir tout le monde,

Ah, content que ça te plaise ! Pour moi le plaisir des maths, c’est exactement celui-là, découvrir des structures, s’émerveiller de celles-ci, et essayer de les comprendre. Je parlais des triangles pythagoriciens, j’aurais pu parler aussi des fractales, de la conjecture de Syracuse, du chaos et de la constante de Feigenbaum, ou tout simplement des nombres premiers, de tous ces tâtonnements qui traduisent une fascination.

Ah oui, > le code ici <, au cas où j’aurais loupé quelque chose et que la logique du programme passe à côté de certaines solutions. Normalement il teste tout, donc il n’y a pas de raison, mais allez savoir…

(suffit de changer le .txt en .html pour que n'importe quel navigateur l'exécute sans le formatage de Google Sites)

Borassus · 25-10-2024 22:53:03

Ernst a écrit :

Pour moi le plaisir des maths, c’est exactement celui-là, découvrir des structures, s’émerveiller de celles-ci, et essayer de les comprendre.

Oui !!

Borassus · 26-10-2024 06:24:28

Bonjour à tous,

Combien manquent à l'enseignement, et pas seulement des maths, la curiosité, la découverte, l'étonnement, l'émerveillement, les interrogations passant de nébuleuses à résolues, la recherche de nouvelles voies, et toute la théâtralisation qui va avec !

jelobreuil · 26-10-2024 07:43:27

Bonjour, Borassus, bonjour Ernst,
J'espère que vous allez bien ...
Je me permets d'intervenir à l'appui de vos derniers messages : la première condition de l'esprit scientifique, c'est bien l'observation des phénomènes, donc la curiosité pour la réalité des choses et non pour leur apparence ...
Bon week-end ! Bien amicalement, Jean-Louis

Ernst · 26-10-2024 10:22:26

Bonjour tout le monde,

Le problème de la curiosité, c’est qu’une conviction n’est pas une certitude. Ici par exemple j’ai pensé, pour aller deux fois plus vite, n’explorer que les $b$ pairs puisqu’il n’y a pas de solutions avec $b$ impair. Sauf que sans l’avoir prouvé, c’était risqué, au delà de certaines valeurs il pouvait peut-être en apparaître un, donc je n’ai pas fait.

La puissance de la théorie, c’est cette capacité de montrer ce qu’on peut faire sans risque.

L’autre aspect fascinant ici, c’est celui de l’infini. Au départ je remarque une concentration des solutions autour de zéro et donc une raréfaction avec l’éloignement. Je me demande ce que ça donne avec des valeurs de plus en plus grandes, mais c’est hélas hors de portée de l’exploration systématique. Au moment où je découvre la possibilité d’un facteur multiplicatif j'ai ma réponse : j’obtiens à la fois un infini non seulement en valeurs entières, mais aussi en valeurs réelles, même chose d'ailleurs quand je découvre que lorsque $b = 0$ et $d = 0$, alors $a$ et $c$ sont solutions quelles que soient leurs valeurs respectives.

(en l'absence de toute preuve théorique, ce n'est une fois de plus qu'une observation)

jelobreuil · 27-10-2024 09:22:13

Bonjour Ernst,
Oui, mais si l'on ne fait que es observations sans avoir la curiosité de se poser les questions du "comment ?" et du "pourquoi ?" de ces observations, la science n'avance pas ...
J'entends par "curiosité" aussi bien la curiosité matérielle, observer les phénomènes dans leur réalité, que la curiosité intellectuelle, chercher leurs explications véritables ...
Et surtout se méfier de ses intuitions et de ses a priori ...
Tu connais la petite histoire du savant et de la puce ? La conclusion : quand on coupe toutes les pattes d'une puce, elle devient sourde ...
Bien amicalement, Jean-Louis B.

Borassus · 27-10-2024 18:47:41

Bonsoir Ernst, bonsoir Jean-Louis (content de retrouver tes interventions, sans doute trop rares), bonsoir à ceux qui viennent nous rendre visite ce soir,

Je rejoins tout à fait Jean-Louis : la curiosité ne permet pas seulement d'observer, mais permet, surtout, de comprendre et d'apprendre, et donc d'élargir notre connaissance du monde.

Je lisais hier dans l'Express une interview de l'anthropologue Ludovic Slimak expliquant dans son livre "Sapiens nu : le premier âge du rêve (Odile Jacob)" qu'il y a 70 000 - 50 000 ans Sapiens s'est mis à penser autrement.
Je cite l'article :

[...] il y a environ 70 000 à 50 000 ans, un déclic se produit presque partout sur Terre. Sapiens change. Il évolue. C’est alors une explosion de nouvelles technologies, parures, peintures, armes, dans un mouvement qui a progressé à un rythme de plus en plus rapide, jusqu’à aboutir à nos sociétés modernes. Alors qu’Homo Sapiens s’était voué, pendant des centaines de milliers d’années, à reproduire à l’identique ce que les anciens faisaient, il a radicalement opté pour le changement.
[...]
A un moment, des groupes humains sont sortis du processus de continuité et ont proposé autre chose. Ils sont entrés dans une mécanique où changer n’est plus tabou et où il est même devenu fondamental d’inventer de nouvelles choses, de nouvelles technologies, d’aller conquérir de nouveaux territoires.

Sans doute la curiosité a eu une grande part dans cette évolution : qu'y a-t-il derrière cette montage ? ou cette mer ? pourquoi se produit tel phénomène que j'observe ? pourquoi telle amélioration technique produit tel effet ? — je rappelle à ce propos que la thermodynamique est née de la nécessité de comprendre les principes de fonctionnement de la machine à vapeur, et donc d'en optimiser son utilisation — et si j'essayais ceci ou cela ?

Ce n'est bien sûr pas la curiosité qui crée la conviction, mais bien la concordance entre la théorie et la réalité. (Einstein n'a commencé à être cru qu'à partir du moment où on a pu effectivement observer la déviation de la lumière d'étoiles visuellement proches du Soleil.)
Mais pour qu'une théorie puisse se mettre en place, il faut qu'ait préalablement joué le puissant moteur qu'est la curiosité. Comme je le rappelle dans ma signature, « Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.

Ernst, je n'ai pas bien compris ce que tu mentionnes

L’autre aspect fascinant ici, c’est celui de l’infini. Au départ je remarque une concentration des solutions autour de zéro et donc une raréfaction avec l’éloignement. [...]

Borassus · 27-10-2024 20:13:32

PS : Je rappelle que la présente discussion est née d'une question de curiosité :
« Question donc : Quel est le critère pour que la courbe d'un polynôme du 4ème degré $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ présente un axe de symétrie ? »

Et que la réactivation de cette discussion provient d'une autre question de curiosité :
Si les cinq coefficients sont des entiers choisis au hasard entre deux entiers $N_1$ et $N_2$, peut-on modéliser la probabilité que le polynôme puisse être retranscrit sous "sa forme canonique" $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ ?

[Ajouté] Et que dire de ta curiosité, Ernst ? La tienne a été bien plus motrice que la mienne ! Et quelles compréhensions a-t-elle générées !

Dernière modification par Borassus (27-10-2024 23:26:06)

Ernst · 28-10-2024 12:57:53

Borassus a écrit :

Ernst, je n'ai pas bien compris ce que tu mentionnes
L’autre aspect fascinant ici, c’est celui de l’infini. Au départ je remarque une concentration des solutions autour de zéro et donc une raréfaction avec l’éloignement. [...]

Bonjour Borassus, bonjour tout le monde,

Ce que je voulais dire, c’est que si on demande le nombre de solutions entières de 1 à 50, on en trouve 1855, si on demande de 26 à 75 il n’en reste que 346 et de 51 à 100 il n’en reste plus du tout. D’où mon impression de raréfaction au fur et à mesure qu’un intervalle fixe glisse vers les grands nombres.

Au moment où je découvre cette histoire de facteur, je comprends qu’il est alors possible de trouver des solutions entières aussi loin qu'on aille non plus en explorant, mais en multipliant. L’infini à la portée de tous.

Et quand je m’aperçois plus tard qu’il est également possible d’énumérer sans fin les solutions entières quand $b$ et $d$ égalent zéro, je ressens la même chose, il n’y a plus de limites aux solutions, le vertige de l'infini, tout simplement.

Borassus · 29-10-2024 22:50:35

Hello Ernst, bonsoir à tous

C'est un régal que de lire ton vertige de l'infini. :-)
Effectivement, c'est intellectuellement plaisant de pouvoir créer une infinité de polynômes de degré 4 symétriques à partir d'un nombre réduit de polynômes symétriques à coefficients entiers.

J'ai voulu continuer avec le degré 5.
Avec l'aide du Chat, qui s'est chargé des développements fastidieux, que j'ai vérifiés avec soin, on arrive à la relation $\dfrac {3bc}{5a} - \dfrac {4b^3}{25a^2} - d = 0$

Les degrés résultants des trois termes sont égaux à 1. (J'espérais 5 - 1 = 4, mais ce n'est pas le cas.)
Donc la multiplication des coefficients d'un polynôme symétrique de degré 5 par un nombre $k$ produit la mise en facteur de $k$, et donc un polynôme symétrique.

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#26 21-10-2024 22:57:46

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

#27 23-10-2024 13:22:17

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#28 23-10-2024 18:34:58

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#29 23-10-2024 22:47:42

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#30 23-10-2024 22:59:21

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#31 24-10-2024 00:06:28

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#32 24-10-2024 00:31:26

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#33 24-10-2024 01:24:59

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#34 24-10-2024 07:59:32

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#35 24-10-2024 20:26:50

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#36 24-10-2024 22:04:50

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#37 25-10-2024 17:48:24

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#38 25-10-2024 21:49:49

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#39 25-10-2024 22:19:45

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#40 25-10-2024 22:53:03

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#41 26-10-2024 06:24:28

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#42 26-10-2024 07:43:27

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#43 26-10-2024 10:22:26

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#44 27-10-2024 09:22:13

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