Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 728

ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonjour,

On apprend en Seconde et en Première que tout polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$ peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$, avec $\alpha = -\dfrac {b}{2a}$ (abscisse de l'axe de symétrie de la parabole) et $\beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}$, ordonnée du sommet de la parabole.
(Je tiens à cette formulation $c - \dfrac{b^2}{4a}$ de $\beta$ car elle a une traduction géométrique effective.)

Par souci d'homogénéité et de cohérence — quelle est la différence entre ces deux termes ? —, j'ai voulu vérifier si les polynômes du 1er et du 3ème degré peuvent aussi être exprimés sous une "forme canonique".

Pour le 1er degré, la transcription est aisée en écrivant que $ax + b = a\left(x + \dfrac b a \right) + 0$.
Ce qui montre que, hé oui, une droite représentée dans un repère a un centre de symétrie, c'est-à-dire "un milieu", de coordonnées $\left(-\dfrac b a,0\right)$.  :-)

Le 3ème degré m'a donné, depuis longtemps, davantage de fil à retordre, car j'essayais, sans succès, de reproduire une démarche similaire à celle du second degré (mettre en facteur $a$ et considérer qu'on a le début du développement d'un cube).

J'ai donc finalement traité hier soir le problème à l'envers, et ai considéré que, si forme canonique il y a, elle doit nécessairement avoir pour structure $a(x - \alpha)^3 + \beta(x - \alpha) +\gamma$.

En développant cette expression, et en l'identifiant avec $ax^3 + bx^2 + cx + d$, j'aboutis à   $\alpha = - \dfrac b {3a}$  ;  $\beta = c - 3a\alpha^2$  ;  $\gamma = d + a\alpha^3 + \beta \alpha$

Vérification sur GeoGebra : les deux courbes se confondent, quelle que soit la combinaison des coefficients. Ouf ! Enfin !

C'est intellectuellement plaisant :

• Le centre de symétrie de la courbe d'un polynôme du premier degré $[ ax + b ]$  a pour abscisse $- \dfrac b {1a}$.

• L'axe de symétrie de la courbe d'un polynôme du second degré $[ ax^2 + bx + c ]$  a pour abscisse $- \dfrac b {2a}$.

• Le centre de symétrie de la courbe d'un polynôme du troisième degré $[ ax^3  + bx^2 + cx + d ]$  a pour abscisse $- \dfrac b {3a}$.

Pour le quatrième degré, l'obtention d'une "forme canonique" me semble plus difficile car la courbe d'un polynôme du 4ème degré n'a pas toujours un axe de symétrie.
Si ses coefficients sont tels que la courbe est symétrique, l'abscisse de son axe de symétrie est très probablement $- \dfrac b {4a}$, et la forme canonique s'écrit très probablement $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^3 + \gamma(x - \alpha)^2 + \delta(x - \alpha) + \epsilon$

Question donc : Quel est le critère pour que la courbe d'un polynôme du 4ème degré $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ présente un axe de symétrie ?
Question subsidiaire : Est-ce que la présence d'un axe de symétrie est nécessaire pour obtenir une forme canonique valable quels que soient les coefficients ?

Bonne journée.
Bien cordialement,
Borassus-Duracell  :-)

Dernière modification par Borassus (20-02-2024 17:38:23)

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 152

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonjour Borassus,

Pourrais-tu définir ce que tu entends par "forme canonique" ? J'ai l'impression que pour toi, il s'agit de ce qu'on appelle "la réduction d'une conique". On part d'une expression de la forme, où $a, b, c, d, e$ sont des réels :
$$ a. x^2 + b.y^2 + c . x + d. y + e = 0 $$
et, par un changement de repère (cartésien), on se retrouve par exemple avec une expression de la forme
$$x^2 - y = 0$$
si la conique dont tu es parti est une parabole. Dans ce cas, il n'y a pas de "forme canonique" pour les polynômes de degré $\geq 3$, puisqu'on ne peut pas leur associer une conique. Pour un polynôme $P(x)$ de degré $\leq 2$, on lui a associé la conique d'équation
$$P(x) - y = 0.$$

Pour ce que tu appelles "la forme canonique" d'un polynôme de degré $3$, je ne comprend pas comment tu choisis $\alpha$. Quel que soit le polynôme $P(x) = a_n . x^n + \ldots + a_0$, et le réel $\alpha$, il existe une, et une seule, suite $a'_0, \ldots, a'_n$ de réels telle que
$$P(x) = a'_n . (x - \alpha)^n + a'_{n-1} . (x - \alpha)^{n-1}+ \ldots + a'_0 $$
donc cela ne me paraît pas très "canonique"...

E.

Dernière modification par Eust_4che (20-02-2024 13:41:24)

Michel Coste

Membre

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 170

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

J'ai l'impression qu'on mélange un peu tout, là.
Borassus, tu as l'air de te limiter aux polynômes en une seule variable. Dans ce cas, il y a une manip bien connue (souvent appelée "transformation de Tschirnhaus") pour faire disparaître au moyen d'une translation le terme de degré $n-1$ d'un polynôme de degré $n$ : tout simplement, si $P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$, alors en posant $x=x'-\dfrac{a_{n-1}}{na_n}$, on n'a plus de terme de degré $n-1$ en la variable translatée $x'$.
Mais quand je parlais d'équation de degré 2 pour une conique, il s'agissait bien évidemment de polynômes en deux variables. C'est bien ça, la traduction géométrie-algèbre de Descartes ! L'équation générale d'une conique est
$$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0\;.$$(Eust_4che a oublié un terme). Il y a six coefficients, qu'on peut multiplier par un même facteur non nul sans changer la conique. Donc 5 degrés de liberté, ce qui donne le résultat suivant :
Par cinq points du plan il passe toujours une conique et en général (quand il n'y a pas trois points alignés parmi les cinq), cette conique est unique et non dégénérée (pas réunion de deux droites).

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 728

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonjour Eust_4che

Oh là, je ne vais pas si loin (ce que tu écris dépasse mes faibles connaissances :-) !!

Comme on explique aux lycéens que tout polynôme du second degré se met sous sa "forme canonique" $a(x - \alpha)^2 + \beta$ (sans préciser ce que signifie "canonique" ; je ne le sais pas moi-même), ce qui, graphiquement, se traduit par une translation de la courbe $y = ax^2$, horizontalement de $\alpha$ (vers la droite si $\alpha > 0$ , vers la gauche si $\alpha < 0$), et verticalement de $\beta$ (vers le haut si $\beta > 0$ et vers le bas si $\beta < 0$), j'ai voulu reproduire la même logique avec un polynôme du 3ème degré :
translation horizontale (par $\alpha$) et translation verticale (par $\gamma$) de la courbe $y = ax^3 + \beta x$ centrée sur l'origine.
(Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, la courbe est strictement monotone ; si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, la courbe présente deux extrema.)

Dernière modification par Borassus (20-02-2024 15:25:11)

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 728

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Même réponse à toi, Michel.

Je me place à un niveau beaucoup plus bas (beaucoup plus proche de mes élèves lycéens, à qui je voulais montrer que la démarche existant pour le second degré peut être aussi appliquée au premier et au troisième degrés) !

Qu'écrivais-tu à propos du titre du forum "Entraide collège / lycée ?  :-)

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Michel Coste

Membre

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 170

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Je pensais être encore dans la discussion sur la parabole.
Pour la question de la symétrie :
1) Le graphe d'un polynôme $a_{2k}x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+\cdots+ a_0$ avec $a_{2k}\neq 0$ présente un axe de symétrie vertical si et seulement si la translation $x=x'-\dfrac{a_{2k-1}}{2ka_{2k}}$ fait disparaître tous les termes de degré impair en $x'$ (elle fait toujours disparaître le terme en $(x')^{2k-1}$).
2) Le graphe d'un polynôme $a_{2k+1}x^{2k+1}+a_{2k}x^{2k}+\cdots+ a_0$ avec $a_{2k+1}\neq 0$ présente un centre de symétrie si et seulement si la translation $x=x'-\dfrac{a_{2k}}{(2k+1)a_{2k+1}}$ fait disparaître tous les termes de degré pair en $x'$, sauf éventuellement le terme constant  (elle fait toujours disparaître le terme en $(x')^{2k}$).

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 728

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Pour le quatrième degré, l'obtention d'une "forme canonique" me semble plus difficile car la courbe d'un polynôme du 4ème degré n'a pas toujours un axe de symétrie.
Si ses coefficients sont tels que la courbe est symétrique, l'abscisse de son axe de symétrie est très probablement $- \dfrac b {4a}$, et la forme canonique s'écrit très probablement $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^3 + \gamma(x - \alpha)^2 + \delta(x - \alpha) + \epsilon$

Si la courbe du polynôme admet un axe de symétrie, je pense que la "forme canonique" devra plutôt s'écrire sous la forme $a(x - \alpha)^4 + \gamma(x - \alpha)^2 + \epsilon$ de façon à reproduire la courbe $y = ax^4 +\gamma x^2 + \epsilon$, centrée sur l'axe des ordonnées.

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 728

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Que signifie d'ailleurs "forme canonique" pour $a(x - \alpha)^2 + \beta$ ?

J'explique qu'il s'agit d'une forme standard qui permet de comparer tous les polynômes du second degré — coefficient du terme de second degré, abscisse de l'axe de symétrie, ordonnée du sommet — , quelle que soit leur écriture, et donne comme exemple le fait que tous les passeports du monde sont, semble-t-il, imprimés selon un format unique.

Mais "canonique" a apparemment un sens particulier ?

Wiktionnaire : « (Mathématiques) Forme censément la plus simple et en tout cas à laquelle se ramènent toutes les expressions d’un certain type, ce qui permet de les distinguer et de les classifier. »

Dernière modification par Borassus (20-02-2024 16:50:12)

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 728

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

1) Le graphe d'un polynôme $a_{2k}x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+\cdots+ a_0$ avec $a_{2k}\neq 0$ présente un axe de symétrie vertical si et seulement si la translation $x=x'-\dfrac{a_{2k-1}}{2ka_{2k}}$ fait disparaître tous les termes de degré impair en $x'$ (elle fait toujours disparaître le terme en $(x')^{2k-1}$).
2) Le graphe d'un polynôme $a_{2k+1}x^{2k+1}+a_{2k}x^{2k}+\cdots+ a_0$ avec $a_{2k+1}\neq 0$ présente un centre de symétrie si et seulement si la translation $x=x'-\dfrac{a_{2k}}{(2k+1)a_{2k+1}}$ fait disparaître tous les termes de degré pair en $x'$, sauf éventuellement le terme constant  (elle fait toujours disparaître le terme en $(x')^{2k}$).

Bonjour,

Les deux règles énoncées par Michel me sont précieuses.
Merci, Michel ! (Chacune de tes réponses me fait avancer dans mes connaissances et compréhensions, que je peux ensuite transmettre, en mentionnant à chaque fois le site bibmath.net, et en accentuant ce que mes échanges sur les forums m'apportent, et apportent sans doute à ceux qui suivent nos discussions.)

L'application de ces deux règles aux polynômes de degré 1, 2, 3 et 4 permet la généralisation suivante, pédagogiquement très plaisante :

• le graphe de tout polynôme de degré 1, $ax + b$, possède un centre de symétrie, d'abscisse $- \dfrac b {1a}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^1 + \beta$, avec $\alpha = - \dfrac b {1a}$ , et $\beta = 0$ ;

  
  

  (A ce propos, on présente toujours la droite $y = ax + b$ comme étant la translation verticale de $b$ de la droite $y = ax$ ; on voit ici que la droite peut être aussi présentée comme une translation horizontale de $- \dfrac b a$ de cette droite $y = ax$.)

• le graphe de tout polynôme de degré 2, $ax^2 + bx + c$, possède un axe de symétrie vertical d'abscisse $- \dfrac b {2a}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ , avec $\alpha = - \dfrac b {2a}$ , et  $\beta = c - \dfrac {b^2} {4a}$ ;

• le graphe de tout polynôme de degré 3, $ax^3 + bx^2 + cx + d$, possède un centre de symétrie d'abscisse $- \dfrac b {3a}$ , et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^3 + \beta(x - \alpha) + \gamma$ , avec  $\alpha = - \dfrac b {3a}$ , $\beta = c - 3a\alpha^2$ , $\gamma = d + a\alpha^3 + \beta\alpha$ ;

• le graphe de tout polynôme de degré 4, $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, dont les coefficients vérifient l'égalité $b^3 - 4abc + 8a^2d = 0$, possède un axe de symétrie vertical d'abscisse $- \dfrac b {4a}$ , et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ , avec $\alpha = - \dfrac b {4a}$ , les expressions de $\beta$ et de $\gamma$ ne présentant pas d'intérêt car déjà trop complexes ;

• plus généralement, le graphe de tout polynôme de degré $n$ dont les coefficients vérifient certaines conditions (qu'il devient rapidement très fastidieux d'établir à la main) possède un centre de symétrie (si le degré $n$ est impair) ou une axe de symétrie vertical (si $n$ est pair), d'abscisse $\alpha = - \dfrac b {na}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique qui est un polynôme en $(x - \alpha)$, dont tous les termes sont de puissances impaires de $(x - \alpha)$ si $n$ est impair, ou de puissances paires si $n$ est pair.

Je dis souvent à mes élèves que les formules dont on les charge — je compare ce flot de formules à une benne déversant son contenu sur les pauvres élèves — ne sont, le plus souvent, qu'un cas particulier d'une logique générale, qui, elle, n'a pas véritablement besoin de formule.
En voici un bon exemple !

Merci de votre attention !

Dernière modification par Borassus (21-02-2024 20:17:09)

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Zonun

Membre

Inscription : 08-03-2024

Messages : 7

Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Tu est un vrai mathématicien Borassus

Dernière modification par yoshi (11-03-2024 12:08:49)

---

|\|  |_|  |\|  []