Forum de mathématiques - Bibm@th.net

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 186

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

Bonjour,
Faute de n'avoir pas lu la page mathcurve assez attentivement, je n'avais pas compris. Maintenant j'y suis.
Je fais référence à la perspective précédente.
Soit donc le cône de révolution de sommet $a$, d'axe la perpendiculaire en $a$ au plan "équatorial" $(O,\vec{i},\vec{u})$ dont deux génératrices passent par les pôles de la sphère.
Soit $M$ un point de l'intersection cône/sphère et $m$ sa projection sur le plan équatorial.
-Le cône ayant un demi-angle au sommet de 45°, le triangle $amM$ est rectangle isocèle en $m$ et $am=mM$
-$Om^2+mM^2=OM^2=R^2\Longleftrightarrow Om^2+am^2=R^2=Oa^2$
Le triangle $Oma$ est donc rectangle en $m$ donc $M$ appartient au cylindre défini plus haut.
Réciproquement si $M$ appartient à l'intersection cylindre/sphère, $am=mM$ (prouvé plus haut) et $(aM)$ est une génératrice du cône donc $M$ appartient à ce cône.
Bref, cône, cylindre et sphère ont pour intersection la courbe de Viviani. Les calculs déjà faits poiur les équations s'appliquent.

Confirmé par une épure de descriptive relative à l'intersection cône/sphère :

Remarquer en projection horizontale le lieu de $m$ et $n$ : le cercle de diamètre $[oa]$ directrice du cylindre droit déjà évoqué. Ce n'est pas une surprise !
[Edit] Un lien pour tenter de comprendre l'épure :

https://www.geogebra.org/m/yfd3tjhy
[Edit] Ajouté sur l'épure la construction de la tangente $(tm,t'm')$ au point courant $m,m'$ de la courbe.

Dernière modification par cailloux (16-11-2024 13:57:12)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 735

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

On samuse bien !

Vivent les maths ...

B-m

---

Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 186

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

Bonsoir Bernard-maths,
Je samuse comme je peux.
Devant le peu de réactions sur ce sujet je me suis permis d'éditer à plusieurs reprises mon dernier message avec pour seuls soucis :
-l'esthétique
-une meilleure compréhension pour un lecteur éventuel.
Je pense qu'il est très facile de comprendre l'épure relative aux points courants de l'intersection cône/sphère pour un quidam qui veut bien s'en donner la peine.
Par contre, la construction de la tangente $(tm,t'm')$ au point courant $m,m'$ de la courbe de Viviani est un peu plus subtile.
Qui pourra la justifier ?

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 735

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

Bonjour calloux !

Je ne suis plus dans la descro ! Hélas ?

Les candidats sont plutôt rares je pense ... Rescassol peut-être avec ses barycentres ?

Bonne suite, Bernard-maths

---

Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 320

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

Bonjour,

Je n'ai pas fait de descro depuis ma lointaine taupe et je n'étais déjà pas très bon.
D'autre part, mes calculs barycentriques sont en 2D.

Cordialement,
Rescassol

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 186

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

Bonjour,
Construction de la tangente au point courant $m,m'$ à la courbe de Viviani :
La tangente en un point de l'intersection de deux surfaces est la droite intersection des plans tangents aux deux surfaces en ce point.
Pour simplifier les constructions, la courbe de Viviani est interprétée ici comme intersection du cône et du cylindre tous deux de révolution déjà évoqués.
-Le plan tangent $Q$ au cône au point $M\simeq m,m'$ est le plan contenant la génératrice correspondante de ce cône et dont la normale en ce point passe par l'axe du cône.
-Le plan tangent $R$ au cylindre au point $M\simeq m,m'$ est le plan contenant la génératrice correspondante de ce cylindre et dont la normale en ce point passe par l'axe du cylindre.
-La tangente cherchée est la droite intersection de ces deux plans.

Soit $P$ le plan horizontal passant par le sommet du cône (et le centre de la sphère). Sa trace frontale est la droite horizontale en trait mixte passant par $a'$ sur l'épure.
Le plan $R$ étant vertical, on obtient sa trace horizontale avec la tangente en $m$ au cercle de diamètre $[oa]$. C'est aussi  la projection horizontale de la droite $R\cap P$.
En projection horizontale, $Q\cap P$ est la droite perpendiculaire à la génératrice $(am)$ au sommet du cône $a$.
L'intersection $t$ de ces deux dernières droites est la projection horizontale de l'intersection de la tangente cherchée et du plan $P$.
Une ligne de rappel permet d'obtenir la projection frontale $t'$ de ce même point.
$(tm,t'm')$ sont les projections de la tangente à la courbe de Viviani au point $m,m'$.
En passant on a construit la tangente en $m'$ à la lemniscate de Gerono.
En espérant avoir été à peu près clair ...