La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

Bernard-maths · 10-10-2024 11:07:37

Bonjour à tous !

Je vous propose un petit topo sur la fenêtre de Viviani, par ailleur connu pour son théorème sur le triangle équilatéral ...

Cette fenêtre est bien documentée sur Wikipedia et surtout Mathcurve, entre autres, aussi je me contenterai de vous présenter un montage avec GeoGebra pour tracer la courbe, et pour en faire une vue en perspective.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%AAtre_de_Viviani
https://mathcurve.com/courbes3d/viviani/viviani.shtml

Il s'agit de cette courbe en forme de 8, intersection d'un cylindre et d'une sphère tangents en un point ... et dont une génératrice du cylindre passe par le centre de la sphère.

Alors si l'on se place dans un repère ON de l'espace d'origine O et d'axe (Oz) "vertical", le cylindre d'axe (Oz) et de rayon r a pour équation (1) : x² + y² = r². Si on choisit la géneratrice passant par le point O'(-r,0,0), ce point est le centre de la sphère, qui a pour rayon 2r, et pour équation (2) : (x+r)² + y² + z² = (2r)².

Ces 2 équations forment un système d'équations cartésiennes pour la courbe.

En développant l'équation (2) : x² + 2rx + r² + y² + z² = 4r², ce qui donne : 2r² + 2rx + z² = 4r²,
d'où : z² = 2r² - 2rx = 2r(r - x). On en déduit que : |z| = $\sqrt{2r² - 2rx}$, et donc z = ± $\sqrt{2r² - 2rx}$.

Comme on tourne autour d'un cylindre vertical, et qu'on fait 2 tours, j'ai choisi comme paramètre l'angle α, alors les coordonnées sont :
x = r cos(α), y = r sin(α), z = sgn(α) sqrt(2r² - 4r cos(α)), pour α variant de -360° à +360°.
C'est le point M(r cos(α), r sin(α), sgn(α) sqrt(2r² - 4r cos(α))) en noir qui dessine cette courbe en 8 !

On pourra remarquer que la courbe passe par les 3 points N(-r,0,2r), S(-r,0,-2r) et P(r,0,0) ... ainsi que 2 plans de symétrie : (NSP) et (xOy), d'où un axe de symétrie : (x'x).

De plus si on trace les 2 droites d'équation y = ± z, perpendiculaires dans le plan (x = r), on remarque la superpositon avec la courbe au point P, ce qui laisse supposer que la courbe se recoupe à angle droit au point P !?

La suite plus loin ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (11-10-2024 15:41:08)

Zebulor · 10-10-2024 18:13:09

Hello Bernard,

humm... ça promet. Par exemple tu vas nous demander quelle est la longueur de cette courbe en forme de 8 :-)

Bernard-maths · 11-10-2024 07:13:21

Hello Zebulor !

Bravo ! Tu viens de TE trouver un petit exo sympa ...

Dernière modification par Bernard-maths (11-10-2024 12:46:23)

cailloux · 11-10-2024 15:32:41

Bonjour,
J'en profite pour signaler ce que peut faire la descriptive dans ce genre d'occasion :

- La première relation (en rouge) résulte de Pythagore appliqué deux fois.
- Le "profil" de la fenêtre de Viviani est rabattu (en bleu). Via les relations métriques dans le triangle rectangle, on "lit" sur la figure :
$rs^2=am^2=ar.ao$
La relation $rs^2=ar.ao$ caractérise un arc de parabole.

Bernard-maths · 11-10-2024 16:11:10

La suite ... Merci cailloux, j'en viens justement à cet aspect parabolique ...

En regardant la figure de profil, on aperçoit un arc d'allure parabolique d'équation z² = 2r² - 2r x (en éliminant y) ... etsi on trace le paraboloïde d'équation z² = 2r² - 2r x, on voit que la courbe est aussi l'intersection de ce paraboloïde avec la sphère !

Mathcurve montre beaucoup de choses ! https://mathcurve.com/courbes3d/viviani/viviani.shtml

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (11-10-2024 16:41:31)

Bernard-maths · 11-10-2024 16:57:54

La suite ...

Ensuite je me suis demandé ce que ça donnait "vu de face", ou en projection sur le plan (x=r) ?

J'ai programmé le point M' (r, r sin(α), sgn(α) sqrt(2r² - 4r cos(α))), où x = r est fixe. On obtient une courbe plane faisant penser à la lemniscate de Bernouilli, sans l'être, et on tombe en fait sur la lemniscate de Gerono ! A suivre dans l'ordre sur :

https://mathcurve.com/courbes3d/viviani/viviani.shtml

On voit la nouvelle courbe en orange, quasiment vue de face ...On remarque à nouveau les droites perpendiculaires en bleu et l'angle droit ...

Pour une équation "à plat" de cette nouvelle courbe, n'en déplaise à cailloux qui veut prendre des raccourcis (:-)) ..., voici un cheminement possible :

On translate la courbe en O, puis on la rote de 90° autour de (y'y) pour la mettre à plat sur (xOy) ...

Partant pour la 1ère courbe de M' (r, r sin(α), sgn(α) sqrt(2r² - 4r cos(α))), on passe à M'1(0, r sin(α), sgn(α) sqrt(2r² - 4r cos(α))) pour la translation, ce qui donne la 2ème courbe orange, puis à M'2 (sgn(α) sqrt(2r² - 4r cos(α)), r sin(α), 0) pour la rotation, et la courbe bleue.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (12-10-2024 10:42:45)

cailloux · 11-10-2024 17:46:52

Oui Bernard-maths.
A noter que cette "lemniscate de Gerono" est précisément la courbe de la projection frontale postée plus haut et que les considérations géométriques évoquées permettent d'aboutir rapidement à une équation implicite :

Ceci sans paramétrage (où il n'est pas nécessaire "d'arranger les calculs").

Dernière modification par cailloux (11-10-2024 17:49:03)

jelobreuil · 11-10-2024 21:12:16

Merci Bernard et Cailloux,
Maintenant, je connais cette "fenêtre" ! sur quelles perspectives ouvre-t-elle ?
Bien amicalement, Jean-Louis B.

cailloux · 11-10-2024 21:32:48

Bonsoir Jean-Louis,

jelobreuil a écrit :

... sur quelles perspectives ouvre-t-elle ?

Voilà une question bien sibylline ...
Sans précision(s), il est fort difficile d'y répondre.
Amicalement.

Bernard-maths · 12-10-2024 11:22:50

Une suite ...

Pour faire plus court je vais remplacer r par sa valeur 2 sur les figures ... ainsi que sign(α) ...

Donc M'2 a pour coordonnées x = sqrt(8 - 8 cos(α)), et y = 2 sin(α) (on laisse tomber z ...).

Or cos(α)=1-2sin²(α/2), soit : 1- cos(α)=2sin²(α/2)d'où : x = sqrt(16 sin²(α/2) = 4 sin(α/2) = 4 sin(t), en posant t = α/2.
Mais y = 2 sin(α) = 2*2sin(α/2)cos(α/2) = 4 sin(t) cos(t).

On reconnaît sur Mathcurve l'équation paramétrique d'une lemniscate de Gerono, avec a = 4 :
https://www.mathcurve.com/courbes2d/gerono/gerono.shtml

On en déduit : x² = a²sin²(t), y² = a²sin²(t)cos²(t) = x² (1 - sin²(t)) = x² (1 - x²/a²), soit : a²y² = x²(a² - x²), et finalement : a²y² = a²x² - x⁴, soit : x⁴ = a²(x² - y²) l'équation cartésienne.

Je n'ai plus grand chose à dire sur cette fenêtre, si ce n'est l'angle droit, dont on ne parle nulle part ... (pas vu, SI ! mais où ?)?

Donc je pose O le centre de la courbe de Gerono, M un point sur la courbe, alors tan((OM),(x'x)) = y/x = 1/cos(t).
Quand t tend vers 0, M tend vers O, et tan((OM),(x'x)) tend vers 1, donc l'angle tend vers 45° ... Les 2 tangentes en O sont perpendiculaires, puisque inclinées à 45°. Ceci se passe dans le plan (x=r) où la lemniscate de Gerono et la fenêtre de Viviani sont tangentes au point P. Et les droites bleues sont perpendiculaires.

Ceci termine mon propos ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-10-2024 10:21:59)

cailloux · 12-10-2024 13:31:12

Bonjour Bernard-maths et merci pour tes développements.

... n'en déplaise à cailloux qui veut prendre des raccourcis

Ils font référence à l'épure de 15h32 dans un repère ad hoc; les voici (avec Pythagore et des relations métriques dans un triangle rectangle) :
$y^4=m'p'^4=m'q'^4=am^4=R^2ar^2=R^2(am^2-rm^2)=R^2(y^2-x^2)$
$$y^4+R^2(x^2-y^2)=0$$

Bernard-maths · 12-10-2024 14:11:02

Hello cailloux !

Je veux bien, mais cette épure est tracée comment ?

B-m

cailloux · 12-10-2024 14:42:36

Ah ! Bernard-maths voilà la question qui d'une part me tue mais d'autre part me donne satisfaction.
Revenons un peu en arrière où j'étais intervenu sur ton fil avec ceci :

J'en profite pour signaler ce que peut faire la descriptive dans ce genre d'occasion

A mon grand regret, la géométrie descriptive a disparu depuis belle lurette. Dans ton fil, y voyant une belle occasion, j'ai tenté d'en faire la promotion.
Ta dernière question m'enchante dans la mesure où je pense avoir atteint mon but, du moins avec toi.
Pour y répondre, il faudrait que je publie quasiment un cours de Géométrie descriptive. Tu peux comprendre que ce n'est pas vraiment possible ici.
Bien sûr, quelque part, je te renvoie dans les cordes ... Mais en l’occurrence, si je t'ai incité à te pencher sur cette discipline géométrique disparue, j'estime avoir réussi mon coup.
Merci à toi :)
P.S. Il n'y a aucune géométrie descriptive dans les relations qui permettent d'obtenir en moins d'une ligne des équations de la lemniscate et de la parabole "profil" : juste de la géométrie élémentaire de collège ...

Dernière modification par cailloux (14-10-2024 12:08:03)

Bernard-maths · 12-10-2024 14:49:09

Hello cailloux !

Lorsque j'étais en congé avant de passer en "Math-Elem", j'avais acheté les livres de Lebossé Emery (?), et j'avais bossé la descriptive ...

Pour apprendre à la rentrée qu'elle était supprimée dorénavent du programme !!!

Il m'en reste un bon souvenir d'il y a 60 ans ...

B-m

Bernard-maths · 12-10-2024 14:55:49

Hello Zebulor !

Alors cette longueur ?

Mathcurve donne : La longueur totale est égale à la longueur d'une ellipse de demi-axes et R et R*rac(2), exprimée par une intégrale elliptique.

Il reste à faire les calculs ...

Et le volume aussi ...

MAIS je ne suis pas tenté pour le faire !

Cordialement, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (12-10-2024 15:50:29)

jelobreuil · 13-10-2024 08:55:53

Bonjour, Cailloux, Bonjour à tous,
Ma question sur les "perspectives" n'attendait pas vraiment de réponse, dans la mesure où ce n'était qu'un jeu de mots ...
Mais cela dit, j'ai bien apprécié sur cet exemple les figures de géométrie descriptive que tu as dessinées !
Bon dimanche, bien amicalement, Jean-Louis B.

Zebulor · 13-10-2024 12:34:30

Hello Bernard et à tous,

Bernard-maths a écrit :

Hello Zebulor !
Alors cette longueur ?

je survole les posts en ce moment, par ailleurs captivé par ma lecture du catéchisme de l'église catholique...

Une intégrale elliptique écris tu ? je vais regarder ça cet après midi..

cailloux · 13-10-2024 14:19:03

Bonjour à tous,
>>Jean-Louis
Je m'étais aperçu un poil trop tard (après avoir posté) que ta question était une aimable plaisanterie.
>> Bernard-maths
Il s'agit bien sûr de Camille Lebossé et Corentin Hémery :)

Bernard-maths · 13-10-2024 17:04:38

Bonsoir à tous !

Voici "Gerono 12", 12 courbes de Gerono sur un cube.

En animation ...

https://www.cjoint.com/doc/24_10/NJnqrq … -10-13.gif

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (13-10-2024 17:19:18)

yoshi · 15-10-2024 17:04:52

Ave tout le monde,

B_m(w) ou l'imagination en crue perpétuelle... J'en reste confondu !

Eh bien, suite à une fausse manip dans mon Firefox, je n'ai pas pas vu d'autre solution que de crée un nouveau profil où j'ai pensé qu'il serait aisé de tout récupérer de l'ancien...
Surtout que les aides diverses et variées semblaient montrer que ce serait fait en 3 coups de cuiller à pot...
Bin voyons, yakafaukon, c'est bien connu ! Ou alors c'est que j'ai le cerveau lent (Par jour de grand vent d'ailleurs, il faudrait que je me pense à me munir de 2 masses marquées de 20 kg, ce serait plus prudent...).
Bref, 48 h après, tout est revenu dans l'ordre et j'ai même eu la surprise de redécouvrir dans mes marques pages un "truc" dont je me suis dit immédiatement << Ah !... Mais si B_m ne connaît pas, voilà qui devrait lui plaire : https://k3dsurf.sourceforge.net/index_fr.html)
Évidemment produit Libre ! Parce que << Si la route est longue, la voie est Libre ! >>

@+

[EDIT]
K3Dsurf est porté disparu...
Mais produit libre, il a été repris sous le nom de MathMod comme confirmé ici
Si vous cliquez sur Télécharger vous obtiendrez MathMod-12.0-Winxx.exe
Chez moi avec ma version Windows 64 bits, en lieu et place de xx, j'ai 64 : mon téléchargement est MathMod-12.0-Win64.exe...
Alors, me suis-je demandé, tout le monde n'a pas une version 64 bits de Windows... Alors, quid de la version 32 bits ?

Peut-être le téléchargement s'adapte-t-il automatiquement à votre version ? Je ne peux pas le savoir...
Donc au cas où ce ne serait pas le cas la version 32 bits MathMod-12.0-Win32.exe est récupérable ici (ainsi que les versions MacOSX et Android et IOS:
https://sourceforge.net/projects/mathmo … hMod-12.0/
Pour les linuxiens, voir https://pkgs.org/download/mathmod, rpm récupérable pour de nombreuses distributions...
Sinon, sur "Face de bouc", vous trouverez des images assez bluffantes...

Voilà info complète maintenant.

Dernière modification par yoshi (15-10-2024 18:38:30)

Bernard-maths · 16-10-2024 10:51:51

Bonjour yoshi !

Merci pour la sentence ...

Je connais k3Dsurf ... de nom, et pour ce qu'il fait, très intéressant.

Mais MOA je cherche avec des équations ... pas du dessin programmé ...

Bonne journée, B-m-w

Dernière modification par Bernard-maths (16-10-2024 15:14:03)

cailloux · 16-10-2024 14:45:19

Bonjour,
Puisqu'il est question d'équations, je me permets de revenir sur ce que j'ai écrit plus haut (où il n'y a pas de descriptive) avec une figure :

$M$ est un point courant de l'intersection sphère/cylindre et $(mM)$ est la génératrice correspondante du cylindre.
Les triangles $OmM$ et $Oma$ rectangles en $m$ ont le côté de l'angle droit $Om$ en commun et des hypoténuses égales ($OM=Oa=R$)
Ils sont donc égaux et $mM=am$
Soit $h$ le projeté orthogonal de $m$ sur $(Oa)$ :
$mM^4=am^4=aO^2.ah^2=aO^2(am^2-hm^2)$
$mM^4=R^2(mM^2-hm^2)$
En sorte qu'une équation de la projection de la courbe sur le plan $(O,\vec{i},\vec{j})$ avec $x=\overline{hm}$ et $y=\overline{mM}$ est :
$y^4+R^2(x^2-y^2)=0$
De la même manière, on a :
$mM^2=am^2=\overline{aO}.\overline{ah}=\overline{aO}.(\overline{aO}+\overline{Oh})$
En sorte qu'une équation de la projection de la courbe sur le plan $(O,\vec{u},\vec{j})$ avec $x=\overline{Oh}$ et $y=\overline{mM}$ est :
$y^2=R(R+x)$
Un arc de parabole de foyer $F$.

Bernard-maths · 16-10-2024 15:27:41

Bonjour à tous !

@ cailloux, bien vu !

Peux-tu faire de même avec le cône, comme indiqué dans Mathcurve ?

Bernard-maths

cailloux · 16-10-2024 22:29:57

Bonsoir Bernard-maths,
Peut-être, qui sait ? Mais ta question :

Peux-tu faire de même avec le cône, comme indiqué dans Mathcurve ?

est bien vague.
Un cône droit, de révolution, autre ? Une intersection avec une autre surface, cylindre, sphère, autre ?
Position relative des deux surfaces ?
Pour tenter quelque chose, il faut des précisions ...

Bernard-maths · 17-10-2024 05:50:38

Bonjour !

"Des cônes pas n'importe comment",

il me semble cône centré sur la sphère et passant par les pôles ...

Vas voir sur mathcurve ! https://mathcurve.com/courbes3d/viviani/viviani.shtml

B-m

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 10-10-2024 11:07:37

La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#2 10-10-2024 18:13:09

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#3 11-10-2024 07:13:21

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#4 11-10-2024 15:32:41

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#5 11-10-2024 16:11:10

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#6 11-10-2024 16:57:54

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#7 11-10-2024 17:46:52

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#8 11-10-2024 21:12:16

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#9 11-10-2024 21:32:48

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#10 12-10-2024 11:22:50

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#11 12-10-2024 13:31:12

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#12 12-10-2024 14:11:02

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#13 12-10-2024 14:42:36

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#14 12-10-2024 14:49:09

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#15 12-10-2024 14:55:49

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#16 13-10-2024 08:55:53

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#17 13-10-2024 12:34:30

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#18 13-10-2024 14:19:03

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#19 13-10-2024 17:04:38

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#20 15-10-2024 17:04:52

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#21 16-10-2024 10:51:51

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#22 16-10-2024 14:45:19

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#23 16-10-2024 15:27:41

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#24 16-10-2024 22:29:57

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

#25 17-10-2024 05:50:38

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

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