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#1 11-10-2024 18:37:45
- mathfaitdesmaths
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Somme directe
Bonjour,
Je ne comprends pas la méthode d'un exercice.
Soient [tex] A_1, \dots, A_p \in M_n(\mathbb{R})[/tex] telles que [tex] A_1 + \dots + A_p \in GL_n(\mathbb{R} ) [/tex] et que, pour tout [tex] i \neq j , A_i^T A_j = 0 [/tex]
A un moment dans l'exercice, on doit montrer que la somme [tex]\sum_{k=1}^{p} \mathrm{Im}(A_k)[/tex] est directe.
Pour cela on fixe [tex](\phi_1, \ldots, \phi_n) \in \mathrm{Im}(A_1) \times \cdots \times \mathrm{Im}(A_p) \quad \text{tel que} \quad \phi_1 + \ldots + \phi_p = 0[/tex], c'est à dire [tex]A_1 X_1 + \ldots + A_p X_p = 0 \quad \text{avec} \quad X_1, \ldots, X_p \in \mathbb{R}^1[/tex]
On arrive à montrer que chaque [tex]A_i X_i = 0[/tex] ce qui nous montre que la somme est directe. Mais justement je ne comprends pas pourquoi cela montre que la somme est directe
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#2 11-10-2024 19:03:37
- Fred
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Re : Somme directe
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#3 11-10-2024 19:20:27
- mathfaitdesmaths
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Re : Somme directe
Non parce que normalement pour montrer qu'une somme est directe, on prend un élément quelconque dans l'intersection et on montre que cet élément vaut 0, alors qu'ici on pose des conditions sur l'élément qu'on prend...
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#5 11-10-2024 20:09:12
- mathfaitdesmaths
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Re : Somme directe
Je pense que tu n'as pas regardé au bon endroit de la page. Ici, ce n'est pas une somme directe de deux espaces, mais d'un nombre plus grand. C'est un petit peu plus bas sur la page ...
Ah ok c'est bon j'ai vu ! Merci beaucoup
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