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#1 11-10-2024 18:37:45

mathfaitdesmaths
Membre
Inscription : 28-03-2024
Messages : 8

Somme directe

Bonjour,

Je ne comprends pas la méthode d'un exercice.

Soient [tex] A_1, \dots, A_p \in M_n(\mathbb{R})[/tex] telles que [tex] A_1 + \dots + A_p \in GL_n(\mathbb{R} ) [/tex] et que, pour tout [tex]  i \neq j , A_i^T A_j = 0  [/tex]


A un moment dans l'exercice, on doit montrer que la somme [tex]\sum_{k=1}^{p} \mathrm{Im}(A_k)[/tex] est directe.

Pour cela on fixe [tex](\phi_1, \ldots, \phi_n) \in \mathrm{Im}(A_1) \times \cdots \times \mathrm{Im}(A_p) \quad \text{tel que} \quad \phi_1 + \ldots + \phi_p = 0[/tex], c'est à dire [tex]A_1 X_1 + \ldots + A_p X_p = 0 \quad \text{avec} \quad X_1, \ldots, X_p \in \mathbb{R}^1[/tex]

On arrive à montrer que chaque [tex]A_i X_i = 0[/tex] ce qui nous montre que la somme est directe. Mais justement je ne comprends pas pourquoi cela montre que la somme est directe

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#2 11-10-2024 19:03:37

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 229

Re : Somme directe

Bonjour,

  Est-ce qu'il y a écrit sur cette page répond à ta question ?

F.

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#3 11-10-2024 19:20:27

mathfaitdesmaths
Membre
Inscription : 28-03-2024
Messages : 8

Re : Somme directe

Fred a écrit :

Bonjour,

  Est-ce qu'il y a écrit sur cette page répond à ta question ?

F.

Non parce que normalement pour montrer qu'une somme est directe, on prend un élément quelconque dans l'intersection et on montre que cet élément vaut 0, alors qu'ici on pose des conditions sur l'élément qu'on prend...

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#4 11-10-2024 19:52:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 229

Re : Somme directe

Je pense que tu n'as pas regardé au bon endroit de la page. Ici, ce n'est pas une somme directe de deux espaces, mais d'un nombre plus grand. C'est un petit peu plus bas sur la page ...

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#5 11-10-2024 20:09:12

mathfaitdesmaths
Membre
Inscription : 28-03-2024
Messages : 8

Re : Somme directe

Fred a écrit :

Je pense que tu n'as pas regardé au bon endroit de la page. Ici, ce n'est pas une somme directe de deux espaces, mais d'un nombre plus grand. C'est un petit peu plus bas sur la page ...

Ah ok c'est bon j'ai vu ! Merci beaucoup

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