Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

RE

La deuxième étant que ce n'est pas à l'élève qui, dans sa condition d'apprenant, a le moyen de juger de la pertinence de l'enseignement qu'il reçoit*

Bien d'accord...  Mais tu ne peux pas faire boire un âne (animal au demeurant plus intelligent qu'on ne le croit) qui n'a pas soif.
Je me "contentais de râler" quand je les entendais mais j'ajoutais :
<< Dites-vous bien qu'aussi mauvais que vous le jugiez, votre prof n'est pas là par hasard, il est diplômé et n'a pas trouvé son diplôme dans une pochette surprise...
Aussi mauvais que vous le jugiez, il a toujours quelque chose à vous apporter : c'est à vous de faire l'effort de le prendre...
Libre à vous de ne pas essayer, mais dans ce cas, ne venez pas vous plaindre ! >>

Borassus : maths comprises vs maths apprises,
B-m retient le bon sens...
Souffrez chers amis que j'en appelle, moi, aux mânes de ce bon M. Rabelais :
<< Science sans conscience n'est que ruine de l'âme ! >>

Faire des maths c'est user de son esprit critique, être sans cesse sous une forme d'auto-contrôle. Je prônais à ceux que pensais réceptifs de bien distinguer le temps de la réflexion de celui la rédaction.
Le 2nd temps, leur disais-je, est celui de la machine à écrire, plus celui de la pensée (est-ce qu'une machine à écrire, ça pense ?) : vous avez décidé d'un plan que vous allez appliquer sans plus tergiverser. Si vous y réfléchissez encore, c'est que vous n'avez pas assez (bien) réfléchi lors de la 1ere phase.
Moyennant quoi, votre cerveau sera libre...
C'est alors que vous pourrez lui confier la tâche de surveiller ce que vous écrivez.
Vous serez donc dédoublés : il y aura celui qui rédige et au dessus celui qui surveillera que vous n'écrivez pas de sottises...
C'était déstabilisant... Mais je n'ai jamais trouvé d'autres explications, d'autres mots.
J'aurais pu être accusé de prendre le risque de les faire devenir schizophrènes...

Et ô combien déstabilisants sont les problèmes de Géométrie dit "ouverts"
Un jour, on m'avait appelé à l'aide pour celui-ci :
Soit un angle aigu $\widehat{xOy}$.
Dans cet angle, placer un point M plus près d'un côté que de l'autre.
Justifier la construction des points $S \in [Ox$ et $T \in [Oy$ tels que M soit le milieu du segment [ST].

J'avais passé un sacré temps à réfléchir et  fini par trouver une solution...
Plus je la rédigeais et moins j'en étais satisfait.
Oh, c'était correct  (je me souviens seulement maintenant que c'était à base de quadrilatères...) mais une fois fini de rédiger, j'avais contemplé mon œuvre et m'étais fait cette réflexion :
Ah ! Je me reconnais bien là... "Tordu" à souhait ! C'est pas possible, il doit y avoir bien plus simple...
Et je me suis replongé sur le dessin et ma démo avec un état d'esprit critique...
Là, en 3 min, j'avais trouvé deux solutions voisines - simples cette fois en me demandant comment j'avais pu passer à côté... Pas assez réfléchi ?

@B-m : j'ai encore été trop bavard cette fois ?
Tu (et vous tous) n'allez peut-être pas le croire : en 2nde, 1ere, Term , c'était un vrai crève-cœur pour moi les dissertations et autres commentaires de textes, tellement je restais sec...
Plus tard, un événement s'est produit qui a fait sauter le verrou. Je sais quand (Date, heure) et pourquoi (circonstances). Maintenant, je n'ai plus de pb, je suis même capable de changer de style...
Moralité : dans un cas comme celui-là, il ne faut pas désespérer.

@+

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Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonsoir à tous,

Toujours à propos de la fonction exponentielle de base $e$ :

Pourquoi tous les polycopiés de cours et tous les manuels présentent le nombre $e$ comme étant la limite de $\left ( 1 + \dfrac 1 n \right )^n$, qui tend extraordinairement lentement vers $e$, alors que le développement en série $1 + \dfrac 1 {1!} + \dfrac 1 {2!} + \ldots + \dfrac 1 {n!}$ (initié par Euler lui-même) tend très rapidement vers ce nombre ??!!

Avec le développement, la cinquième décimale est atteinte pour $n = 9$, alors que pour la définition habituelle, la première décimale est atteinte pour $n = 74$, la deuxième pour $n = 164$, la troisième pour... $n = 4822$ !!

Ah oui, c'est vrai : les développement en série ne sont pas au programme !
Ce n'est pourtant pas une notion difficile à comprendre, surtout pour le calcul d'une constante !

PS : Je devrais changer de pseudo : Borebelle !  :-)

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DrStone

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonsoir.

Pourquoi tous les polycopiés de cours et tous les manuels présentent le nombre $e$ comme étant la limite de $\left ( 1 + \dfrac 1 n \right )^n$, qui tend extraordinairement lentement vers $e$, alors que le développement en série $1 + \dfrac 1 {1!} + \dfrac 1 {2!} + \ldots + \dfrac 1 {n!}$ (initié par Euler lui-même) tend très rapidement vers ce nombre ??!!

Parce que c'est au programme :

D'ailleurs la méthode d'Euler (que tu sembles bien estimer), préconisée par le programme, conduit à la notation $e^x=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$, elle même étrangement au programme. Voir par exemple ce très bel article de CultureMath.ens.fr accessible à tous les lycéens. La formule en séries de Taylor, formule d'Euler-MacLaurin, en découle alors assez naturellement.

De plus, il est faux de dire que tous polycopiés et tous les manuels présentent systématiquement $e$ de cette manière. Par exemple, dans ce manuel on trouve les deux présentations :

Dernière modification par DrStone (16-08-2024 01:25:10)

yoshi

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonsoir,

J'ai voulu tester en Python la rapidité du calcul de e par le développement en série...
J'ai trouvé sur Maths et Tiques, une valeur de e avec 100 décimales.
J'ai donc écrit un petit script via la classe Décimal du module decimal de Python...
J'ai fixé pour ladite classe un nombre de chiffres significatifs à 101 et une boucle for dont j'ai repoussé la limite pour voir (en partant de 1) de combien de tours j'aurai besoin pour retrouver la valeur de Maths et Tiques.

from decimal import Decimal as D, getcontext
getcontext().prec=101

ft,ep=D(1),D(1)
for i in range(1,71):
    ft*=D(i)
    ep+=D(1)/ft
print ("Valeur calculée :"  )    
print(ep)

print('2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274')
print ("étant la valeur donné par Maths et Tiques")
 

N-B : je n'ai pas jugé utile d'importer la factorielle du module math, j'initialise la variable ft à 1, et à chaque tour je la multiplie par le nombre ad hoc : 1, (1) * 2, (2) * 3, (6) * 4...

Sortie :

Valeur calculée :
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274
2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274
étant la valeur donné par Maths et Tiques

Si je change le 71 en 70, la 100e décimale n'est plus 4 mais 3...
Je suis peut-être un peu "difficile", mais je trouve quand même (non le temps d'exécution pratiquement instantané, mais le nombre de tours de boucle) ça un peu lent...
A titre de comparaison, le calcul de $\sqrt 5$ (pour le nombre d'or), j'ai 20 000 décimales avec la méthode Heron en ...14 itérations !

@+

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Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour à tous,

Ah oui ! Le programme !!

Pourquoi alors le programme, dans son infinie et insondable sagesse, accorde-t-il une telle importance à cette limite qui, à mon sens, devrait être anecdotique et simplement entrer dans le récit historique des notions d'exponentielle et de logarithme  ?
En quoi l'obtention de $e$ par cette limite (ou par le développement en série d'ailleurs) permet-elle aux élèves d'améliorer leur compréhension de fond de ces notions ?

L'avantage du développement en série est que, à la fois, il fournit la valeur de $e$ et explique pourquoi la dérivée de l'exponentielle de base $e$ est elle-même. Ensuite on peut démontrer qu'elle est bien la seule fonction (et pas seulement la seule fonction exponentielle) à avoir cette particularité.

Soit. Il y a au moins un manuel qui dans un TD fait référence au développement en série.
Mais par ce que je vois concrètement, et quotidiennement, auprès de mes élèves, le TD sont plutôt perçus comme un pensum, et je n'ai pas l'impression qu'ils en tirent une réelle compréhension. Le mode descriptif (récitatif ?) serait, toujours à mon sens, bien plus opérant.

A propos d'élèves, mon "contradicteur préféré" fait en permanence référence à des lycéens que, en douze ans de métier — je dois intuitivement totaliser une dizaine de milliers d'heures de cours — je n'ai jamais rencontrés, même parmi les élèves de lycées privés prestigieux.

Mon moteur quotidien est de faire comprendre à mes élèves, tels qu'ils sont, la logique et le sens des notions qu'ils voient en classe.
Et pour cela je dois moi-même m'extraire des "maths apprises" et élaborer, par essais et améliorations successifs, ma propre démarche pédagogique, celle qui me convient, et, surtout, celle qui convient à mes élèves. ( « C'est fou ! Je comprends plus en une heure et demie avec vous qu'en deux semaines avec le prof ! » ; « C'est beaucoup plus simple expliqué comme cela ! » ; etc.)

Pour ce qui est des articles cités, en toute humilité « ne volant pas bien haut », je n'acquiers des connaissances mathématiques supplémentaires que dans la mesure où elles me permettent de consolider ma propre compréhension, et, surtout, de transmettre cette consolidation à mes élèves.
Les explications de la démarche d'Euler que j'ai trouvées dans l'ouvrage en deux tomes «Mathématiques à travers les siècles » de Michel Garcia (éditions Calvage & Mounet) me suffisent amplement.

PS : Il serait bon que les attaques ad hominem n'aient pas leur place dans ce forum (ni dans aucun, d'ailleurs)...

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Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour Yoshi,

Merci pour ce calcul.

Combien d'itérations faut-il avec la suite pour obtenir le même nombre de décimales ?

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DrStone

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour.

Je n'ai jamais écrit que le programme avait «dans son infinie et insondable sagesse» raison. En revanche, si je suis prompt à critiquer les programmes, je le suis moins à critiquer les professeurs qui font ce qu'ils peuvent avec ce qu'ils ont.
Or, toi, ici, tu critiques les professeurs «Pourquoi tous les polycopiés de cours et tous les manuels» en disant globalement qu'ils font de la merde : «En quoi l'obtention de $e$ par cette limite […] permet-elle aux élèves d'améliorer leur compréhension de fond de ces notions ?». Sous entendu, "pourquoi ils ne font pas comme moi ce serait bien mieux pour tout le monde". On est pas loin de "c'est moi qui aie raison parce que j'ai eu l'illumination".

Encore une fois, tu considères que ta façon de faire pour un seul et unique élève à la fois, disposé à t'écouter car dans 99% des cas il l'a choisi : tu n'es pas son prof de lycée qu'il doit supporter parce qu'imposé par l'idée même d'école,

« C'est fou ! Je comprends plus en une heure et demie avec vous qu'en deux semaines avec le prof ! »

est la meilleure chose à faire dans toute une classe… laisse-moi en douter.

Enfin, je ne vais pas revenir sur le reste, si ce n'est la dernière phrase :

PS : Il serait bon que les attaques ad hominem n'aient pas leur place dans ce forum (ni dans aucun, d'ailleurs)...

Il n'y a aucune attaque ad hominem sur ce fil de discussion, ni sur ce forum. Si en revanche tu considères qu'être en désaccord avec toi en te montrant en quoi tu racontes n'importe quoi constitue des attaques ad hominem, alors je vais couper court à toute autre discussion éventuelle. Sur ce, je te souhaite un bon week-end.

Dernière modification par DrStone (17-08-2024 13:43:44)

Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Fichtre !
Que voilà une réponse cinglante qui, indéniablement, donne matière à réflexion !
Merci !

Bon week-end (désénervé :-) à toi également.

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yoshi

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Ave Borassus,

Je vais essayer de faire ce calcul autrement (mais avec la suite)...
En effet, avec n=130, je m'approche de 2,71 (2,709...) ça ne me paraît pas possible !

@+

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Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Ave Yoshissime,

« ça ne me paraît pas possible ! »

C'est ce que je me suis dit lorsque j'ai voulu visualiser la suite sur tableur.

D'abord j'ai pris un pas de 1. Stupéfaction !
Ensuite un pas de 10 ; stupéfaction de nouveau.
J'ai pris alors un pas de 100 pour, enfin, voir la troisième décimale apparaître entre 5700 et 5800 ! [CORRIGÉ : Je ne me souvenais plus de la valeur ; en fait la troisième décimale apparaît entre 4800 et 4900. ]

Dernière modification par Borassus (18-08-2024 07:46:32)

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

RE,

Script réécrit : la première occurrence de 2,718 apparaît avec n=4822:
n=4820
2.7179999026324368247723...

n=4821
2.7179999611000228366956...

n=4822
2.71800001954336311089849...
(J'ai abrégé en coupant les décimales suivantes : la 4e étant déjà fausse à quoi servirait d'afficher les autres...)

Ce que tu écris me rassure sur mes calculs et me consterne en même temps : quelle lenteur ! Je trouvais que 71 itérations c'était lent, mais j'avais mes 100 décimales...
Là, pour en avoir... 3, je dois calculer $\left(1+\frac{1}{4822}\right)^{4822}$ !

Je n'ose même pas envisager 100 décimales, ça dépasserait les capacités de ma machine (j'ai pourtant 16 Go de RAM).

@+

[EDIT : tu devrais te mettre à Python)

Dernière modification par yoshi (17-08-2024 16:54:23)

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Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Combien alors faut-il d'itérations pour obtenir 100 décimales ???

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Je n'avais pas vu ton ajout.

Pour l'instant, j'ai plutôt la tête dans html, css, JavaScript.

Mais je me promets de m'y mettre... ultérieurement.  :-)

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

B'soir,

J'ai répondu à ta question : combien pour 100 décimales ? --> Je n'ose même pas y penser...

Ce doit être astronomique : pour 2 décimales de plus (5 en tout), soit 2,71828, j'ai dû pousser jusqu'à n = 743 325...
--> n = 743 324
2.718279999997...

--> n =  743 325
2.718280000000109854...

--> n = 743 326
2.718280000002569685...

Tu vois ce que je veux dire !

@+

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Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

C'est hallucinant !!!
743 325 itérations pour simplement obtenir CINQ décimales !!!

Je n'imaginais absolument pas qu'il faudrait un TEL nombre d'itérations !!

Dernière modification par Borassus (17-08-2024 17:58:37)

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jelobreuil

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonsoir Yoshi, Borassus,
Ah certes, ça en fait pas mal, comme qui dirait ...
Bien amicalement, Jean-Louis B.

yoshi

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Ah, JLB, ça t'épate aussi...

A titre de comparaison, avec n = 71 j'obtiens 2.699382869... même pas 1 malheureuse décimale contre déjà 100 avec les factorielles...
Pour $\mathrm e^1$, la calculette Windows donne 2,7182818284590452353602874713527...

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Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour à tous en cette belle journée dominicale,

Nos riches échanges sur les limites illustrent que la notation classique $\lim$ est en fait doublement limitée (sans jeu de mots :-) :

• Dans le cas d'une limite infinie, elle ne donne aucune indication sur la rapidité d'évolution, et met sur le même plan des évolutions aussi extraordinairement disparates que  $\ln x$,  $\sqrt x$,  $ax$ (avec $a \ge 1$),  $e^x$,  $n!$  ou  $x^x$

• Dans le cas d'une limite finie, elle ne donne aucune indication sur la rapidité de convergence, et met sur le même plan des limites aussi extraordinairement disparates que le nombre $e$ calculé selon le développement en série ou selon la suite. (Merci Yoshi pour tes calculs profondément signifiants !)

A défaut de pouvoir créer de nouvelles notations, ce qui représenterait un processus complexe et lourd, je crois qu'il est indispensable, pour la compréhension concrète des limites étudiées, d'indiquer au moins dans quelle "catégorie" se situe telle ou telle limite, exemples numériques significatifs à l'appui.

Bon dimanche.
Bien cordialement.

Dernière modification par Borassus (18-08-2024 10:35:32)

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Rescassol

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour,

La notion de vitesse de convergence (ou de divergence) est connue et est étudiée, notamment en rapport avec l'informatique. Il existe les notations de Landau (o et O). Il n'y a pas besoin de nouvelles notations.

Cordialement,
Rescassol

Eust_4che

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour à tous,

Dans le cas d'une limite infinie, elle ne donne aucune indication sur la rapidité d'évolution, et met sur le même plan des évolutions aussi extraordinairement disparates que ...

Si seulement on avais la possibilité d'exprimer plus finement le comportement asymptotique de ces fonctions. C'est tout de même dommage que l'expression $\lim_{x \to \infty} x \exp(-x) = 0$ (et peut-être $\lim_{x \to \infty} x^n \exp(-x) = 0$) "relève d'un non-sens total". Cela aurait pu traduire l'idée intuitive que la fonction $exp(x)$ croît "plus rapidement" que chacune des fonctions $x^n$...

E.

Dernière modification par Eust_4che (18-08-2024 12:43:23)

Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour Eust_4che,

Ah oui ! dans ma liste j'avais oublié $x^n$.

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Borassus

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonsoir,

Je comprends ce que tu veux dire, et comprends ta réserve quant à mon expression pouvant sembler quelque peu péremptoire.
Je traduis avec mes mots :

$x^n e^{-x}$ tend très rapidement vers $0$ car le facteur $e^{-x}$ devient très rapidement extrêmement proche de $0$  ($e^{-x} = \dfrac 1 {e^x}$ ) , et donc "impose" l'évolution du produit vers $0$.
Ce qui donne effectivement l'idée intuitive que la fonction $e^x$ croît "plus rapidement" que chacune des fonctions $x^n$.

Toutefois, à l'idée intuitive je préfère la compréhension concrète que donnent les chiffres :

Soit d'abord $n = 3$ :   
$10^3 \times e^{-10} \approx 0,045$
$15^3 \times e^{-15} \approx 0,001$
$20^3 \times e^{-20} \approx 1,65 \times 10^{-5}$
$25^3 \times e^{-25} \approx 2,17 \times 10^{-7}$    (c'est-à-dire deux dix-millionièmes...)

Soit maintenant $n = 10$ :
$40^{10} \times e^{-40} \approx 0,045$
$45^{10} \times e^{-45} \approx 9,75 \times 10^{-4}$
$50^{10} \times e^{-50} \approx 1,88 \times 10^{-5}$
$55^{10} \times e^{-55} \approx 3,29 \times 10^{-7}$

(Pour déterminer les valeurs de ces exemples, j'ai simplement demandé à ma calculatrice de résoudre l'équation $e^x = x^n$, et ai commencé les calculs pour la solution la plus grande incrémentée de 5 unités.)

Mon expression concerne plutôt $x \rightarrow +\infty$ au regard de l'évolution très rapide du produit vers 0.
J'ai en effet du mal à admettre que $25$ ou $55$ sont déjà des valeurs infinies.

Bonne soirée à tous.

PS : Merci pour le temps que vous me consacrez, aussi bien pour me lire que pour me répondre !

Dernière modification par Borassus (18-08-2024 20:43:10)

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Eust_4che

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

$55$ et $25$ ne sont pas des valeurs infinies, pas plus que ne le sont le nombre d'atome de l'univers, ton âge, le mien ou $10 \uparrow \uparrow  \uparrow  10$ et, d'une manière générale, pas plus que ne l'est toute valeur finie.

L'expression $x \rightarrow + \infty$ n'a pas de sens en elle-même. Quand on la trouve dans le contexte des limites, elle n'est présente que pour signifier de quelle limite parle-t-on : s'il s'agit d'une limite en un point ou d'une limite en $+ \infty$.

On peut encore parler de limite d'une fonction en un point lorsqu'on manipule des espaces topologiques (et même des espaces filtrés par un filtre), où l'idée de point "proche d'un autre" fait encore sens. Lorsque $f$ est une fonction entre deux espaces topologiques, l'expression " $\lim_{x \to a} f(x) = b$" signifie encore que $f$ possède une limite au point $a$ et que cette limite est $b$, ou encore, pour employer le "français", que l'on peut rendre les valeurs $f(x)$ de $f$ aussi voisine qu'on veut dès lors que l'on prend $x$ suffisamment voisin de $a$.

Dans $\mathbf{R}$ (considérer comme un espace topologique), il n'y pas de différences conceptuelles entre une limite en un point et une limite en $+ \infty$ ou en $- \infty$. On peut toujours voir $+ \infty$ et $- \infty$ comme deux réels (qui ne sont plus finis). Prendre $x$ suffisamment voisin $+ \infty$ signifie alors prendre $x$ supérieure à un réel (fini) convenable (le plus souvent, il n'est nul besoin de le spécifier, son existence suffit).

Il n'y a ici, tant que l'on parle de convergence en un point (et l'on aura compris que $+ \infty$ est ici vu comme un point), aucune notion de "rapidité".

Toutefois, après avoir encore critiqué l'enseignement des mathématiques pour différentes raisons (je ne suis pas revenu dessus, mais dire que définir la fonction $\exp(x)$ comme une série entière permet de retrouver directement sa dérivée suppose que l'on puisse dériver "terme à terme" la série, et cela n'est pas vrai en général...), tu as soulevé un point, qui est exactement le propos introductif de Bourbaki (FVR, chap. V), et l'on peut difficilement faire plus clair :

Il ne suffira pas en général de savoir qu'une telle fonction tend vers une limite donnée suivant (un filtre) pour pouvoir traiter tous les problèmes de "passage à la limite suivant (le filtre) "où interviennent des expressions formées avec cette fonction.

Par exemple, lorsque la variable réelle $x$ tend vers $+ \infty$, les trois fonctions $x, x^2$ et $\sqrt{x}$ tendent toutes les trois vers $+\infty$, mais, des expressions,
$$ (x+ 1)^2 - x^2, \qquad (x + 1) - x, \qquad \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$$
la première tend vers $+ \infty$, la deuxième vers $1$, la troisième vers $0$.

Il importe donc de connaître, non seulement la valeur limite d'une fonction suivant (le filtre) (lorsque cette limite existe), mais encore la "manière" dont la fonction tend vers sa limite ; en d'autres termes, on est amené à opérer une classification dans l'ensemble des fonctions qui tendent vers une même limite.

Pour cela, on recourir à ce qu'on appelle des "relations de comparaisons" : fonction dominée par telle ou telle autre, fonction négligeable devant telle ou telle autre, fonction semblable à telle autre, fonction équivalente à telle autre. Dans tous ces cas, il s'agit de partir d'un certain nombre de fonctions, dont les comportement asymptotiques sont supposés connus. Par exemple, il peut s'agir des fonctions $x^n$ pour $n \geq 0$ ou même des fonctions $x^n$ pour tout entier $n$. À l'aide de ces fonctions, nous allons peut-être pouvoir traduire l'idée d'après laquelle la fonction $\exp(x)$ tend plus vite vers $+ \infty$ que chacune des fonctions $x^n$ (pour $n \geq 0$) : la fonction $\exp(x)$ est prépondérant devant toute les fonctions $x^n$, ou encore que chacune des fonctions $x^n$ est négligeable (dans le sens que l'intuition peut donner à ce mot) devant la fonction $\exp(x)$ : les fonctions $x^n$ représentent une part négligeable de la fonction $\exp(x)$. Ici, cela signifie que $\lim_{x \to \infty} x^n/\exp(x) = 0$. Les valeurs numériques permettent d'accepter ce résultat.

La notion de "comparaison" entre les fonctions est fort générale. Elle s'adapte finalement à chacune des intuitions que l'on peut avoir sur la rapidité d'une convergence.
Par exemple, on peut tout à fait décréter qu'une fonction positive (il faut mieux ici ne pas considérer les questions de signe) "tend rapidement vers $+ \infty$" (lorsque $x$ tend vers l'infini) si elle est prépondérante devant la fonction $x$. Pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $x^n$ tend rapidement vers l'infini, mais non la fonction $\ln(x)$.
On peut dire qu'une fonction tend "infiniment rapidement" vers $+ \infty$ lorsqu'elle est prépondérante devant chacune des fonctions $x^n$. Aucune des fonctions $x^n$ ne tend donc "infiniment rapidement" vers $+ \infty$. Les fonctions $\exp(x)$ et $\exp(x) \ln(x)$ tendent "infiniment rapidement" vers $+\infty$, etc.
On peut souhaiter dire qu'une fonction (toujours positive) "tend vers l'infini avec la même célérité avec laquelle Borassus est prompt à critiquer les programmes" si elle est prépondérante devant la fonction $\exp(x)$. Par exemple, la fonction $\exp(x^2)$ "tend vers l'infini avec la même célérité avec laquelle Borassus est prompt à critiquer les programmes", mais non la fonction $\exp(\sqrt{x})$.

On peut continuer ainsi pendant plusieurs heures. Il n'y pas de définition précise de "rapidité", et encore moins de "rapidité de convergences". C'est ce qu'on a pu essayer de te faire comprendre. Cela dépend, et les mathématiques, par leur propension à la généralisation, permettent de se donner un cadre satisfaisant pour contenter son intuition, en faisant, pour cela, un pas de coté et en abordant différemment le problème : il n'y a pas de "rapidité" en soi ; on ne peut que comparer les fonctions entre elles.

Dernière modification par Eust_4che (19-08-2024 11:15:10)

Zebulor

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour,
je ne fais qu'une petite incursion en survolant les fils de cette discussion. Ce qu'a écrit yoshi a retenu mon attention :

...quand je les entendais mais j'ajoutais :
<< Dites-vous bien qu'aussi mauvais que vous le jugiez, votre prof n'est pas là par hasard, il est diplômé et n'a pas trouvé son diplôme dans une pochette surprise...
Aussi mauvais que vous le jugiez, il a toujours quelque chose à vous apporter : c'est à vous de faire l'effort de le prendre...
Libre à vous de ne pas essayer, mais dans ce cas, ne venez pas vous plaindre ! >>

Je m'intéresse en ce moment à la psychologie des pervers narcissiques dans le cadre de mon travail, et je regarde sur le net ce qu'en disent les psychologues et autres coachs.
J'en tire que les analyses des psychologues de formation sont de meilleure qualité que les coachs...

Tout ça pour confirmer que le diplôme est effectivement gage d'une certaine valeur...

Parenthèse close...

Bonne journée

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Borassus

Membre

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Re : Croissance comparée en spécialité maths

Bonjour Eust_4ache, Bonjour Zebulor, bonjour à tous,

Je remerciais dans mon précédent message du temps qu'on me consacre, aussi bien pour me lire que pour me répondre !

Là, Eust_4che, je te remercie à la puissance « promptitude qu'a Borassus de critiquer le programme » !!

Merci, non seulement pour le temps conséquent que tu m'as dédié, mais surtout de ce que tu m'as fait comprendre !
Tes explications sont pour moi une véritable commotion, et vont en grande partie retourner de fond en comble ma façon d'expliquer la fonction exponentielle de base $e$ et les logarithmes népériens, que ce soit oralement lors d'un cours particulier ou d'un stage de vacances —, ou que ce soit dans mon travail d'écriture

Effectivement, quand j'écris que la fonction exponentielle croît infiniment rapidement, c'est, implicitement, sans même m'en rendre, en comparaison avec les fonctions puissances, que je sais être des fonctions rapidement croissantes.

La croissance relative des fonctions $ln$, racine carrée, identité, carré, cube est très facilement visuellement perceptible :

La croissance relative entre la fonction exponentielle et les fonctions puissances n'est quant à elle pas du tout visuellement évidente, car on voit au départ deux courbes "très raides", dont la fonction puissance (à partir de 3) est d'ailleurs supérieure à la fonction exponentielle. La figure ci-dessous présente la fonction exponentielle et la fonction cube limitée aux valeurs positives.

Il faut remonter bien haut pour commencer à voir la courbe de l'exponentielle être au-dessus de la courbe de la fonction cube, et il faut remonter encore bien plus haut pour commencer à voir une différence de hauteur visuellement significative.

Donc, maintenant, grâce à tes explications patientes — merci encore Eust_4che, merci !! —, je vais expliquer comme suit la croissance de la fonction exponentielle :

Par rapport aux fonctions puissances, que chacun sait être des fonctions présentant des croissances qu'on peut considérer comme "rapides", et à partir d'une valeur qu'il est aisé de déterminer à l'aide de la calculatrice — il suffit de lui demander de résoudre l'équation $e^x = x^n$ —, toute fonction puissance, si élevé que soit l'exposant, devient négligeable devant la fonction exponentielle :
A valeur plus 5, la fonction puissance ne représente déjà que quelques pour cent de la fonction exponentielle.
A seulement valeur plus 20, le rapport entre la fonction puissance et la fonction exponentielle devient de l'ordre du dix-millionièmes !!

Cette très forte prédominance, à partir d'une certaine valeur, de la fonction exponentielle par rapport à n'importe quelle puissance est notée selon deux logiques inverses, suivant qu'on veuille mettre l'accent sur la prédominance de la fonction exponentielle, ou au contraire sur la négligeabilité de la fonction puissance par rapport à la fonction exponentielle :

$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac {e^x}{x^n} = + \infty$

ou

$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac {x^n}{e^x} = 0$

Important : Il ne faut pas interpréter au pied de la lettre $x \to +\infty$ et $= +\infty$ comme « tendant vers de grands nombres » ou « atteignant de grands nombres » [c'est précisément cette interprétation qui a généré mon "ruage" dans les brancards à l'origine de tous ces échanges !], mais plutôt comme « à partir d'un certain nombre, lorsque la variable croît » et « devient de plus en plus important ».

Eust_4che, tu m'as permis de faire la synthèse entre une notation qui me hérissait et que j'estimais relevant "d'un non sens total" et la réalité irréfutable affichée par la calculatrice !!

Logique inverse : Puisque les fonctions logarithme népérien exponentielle de base $e$ sont réciproques l'une de l'autre, toute racine n-ième, si élevé que soit $n$, est à partir d'une certaine valeur prédominante par rapport à la fonction logarithme népérien, ce qui peut aussi se traduire par le fait qu'à partir d'une certaine valeur, la fonction logarithme népérien devient négligeable par rapport à n'importe quelle racine.

Ce qui, selon les deux approches, se traduit par

$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac {\sqrt[n] x}{\ln x} = +\infty$

ou

$\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac {\ln x}{\sqrt[n] x} = 0$

Sur ce, je dois déjeuner et me rendre à mon premier cours de l'année (même élèves pendant toute la semaine).
Je crois que cette discussion va connaître encore quelques (fructueux) échanges !..

Merci encore !

Bonne après-midi à tous.

Dernière modification par Borassus (19-08-2024 14:49:44)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.