Forum de mathématiques - Bibm@th.net

petitponey

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Equivalent, suite

Bonsoir,
Voici l'exercice sur lequel je bloque depuis une treintaine de minutes :
Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs ou nuls.
Montrer que : $(1+\frac{a_n}{n})^n \sim e^{a_n} \iff a_n = o(\sqrt{n})$.

J'ai établi le sens réciproque à l'aide d'un DL à l'ordre 2 à l'origine de ln(1+x), mais je n'arrive pas à avancer pour le sens direct : j'ai seulement obtenu le fait que $n ln(1+\frac{a_n}{n}) - a_n \rightarrow 0$....
Toute indication est donc la bienvenue, merci d'avance !

Totototo

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Re : Equivalent, suite

Bonjour,

Dans l'autre, même stratégie : un développement limité. Au préalable, il s'agit de montrer que la suite de terme général $a_n/n$ converge vers 0, pour pouvoir faire ce DL. Mais bonne nouvelle, si le résultat qu'on vous demande de démontrer est vrai, alors on a bien cette convergence.
Finalement, le sens direct se ramène à démontrer un résultat plus faible (a priori) que celui qu'on vous demande, à savoir que $(a_n/n)$ converge vers 0.
Pour ce faire, travailler à partir de la limite ce que vous avez obtenue et introduire/étudier la fonction qui a $x$ associe $\ln(1+x)-x$.

petitponey

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Re : Equivalent, suite

Bonjour,
Merci beaucoup pour votre réponse ! J'ai reformulé la limite que j'avais obtenu en $\ln(1+\frac{a_n}{n}) - \frac{a_n}{n} \rightarrow 0$. L'étude de la fonction que vous m'avez proposé donne $\forall x > -1, \ln (1+x) \leq x$ avec égalité ssi x = 0. Mais je ne vois pas comment montrer que nécessairement $x \rightarrow 0$ si $\ln(1+x) - x \rightarrow 0$...

Dernière modification par petitponey (04-08-2024 16:38:02)

Totototo

Invité

Re : Equivalent, suite

Il s'agit plutôt d'étudier si cette fonction est inversible (pour la composition) et la continuité de cette éventuelle inverse.
Si on note $f$ cette fonction alors vous avez obtenu $(f(a_n/n))$ tend vers  0, et il s'agit d'obtenir $(a_n/n)$ tend vers 0.

Totototo

Invité

Re : Equivalent, suite

https://www.bibmath.net/ressources/inde … ncusu.html

Totototo

Invité

Re : Equivalent, suite

Je viens de voir que ce résumé de cours est incomplet sans doute car non enseigné ???
Bref, sous les hypothèses bibmath (ie stricte monotonie et continuité) la fonction réciproque est continue. Ça devrait vous permettre de conclure si ça fait partie des outils enseignés ???

Totototo

Invité

Re : Equivalent, suite

Théorème de la bijection
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A … _bijection.

petitponey

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Re : Equivalent, suite

Oui en effet votre première réponse a suffit pour que je pense directement au théorème de la bijection ! On obtient alors par continuité de $f^{-1}$ en 0, $f^{-1}(f(\frac{a_n}{n})) \rightarrow 0$ i.e. $\frac{a_n}{n} \rightarrow 0$ et on conclut effectivement avec un DL.

Merci infiniment pour votre réactivité et désolé pour les réponses lentes de mon côté ^^

Totototo

Invité

Re : Equivalent, suite

Ok, bonne continuation.

Fred

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Re : Equivalent, suite

Ce résumé de cours est sans doute plus approprié :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … nuite.html

F.

Alfred V.

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Re : Equivalent, suite

Bonjour,

Dans l'autre, même stratégie : un développement limité. Au préalable, il s'agit de montrer que la suite de terme général $a_n/n$ converge vers 0, pour pouvoir faire ce DL. Mais bonne nouvelle, si le résultat qu'on vous demande de démontrer est vrai, alors on a bien cette convergence.
Finalement, le sens direct se ramène à démontrer un résultat plus faible (a priori) que celui qu'on vous demande, à savoir que $(a_n/n)$ converge vers 0.
Pour ce faire, travailler à partir de la limite ce que vous avez obtenue et introduire/étudier la fonction qui a $x$ associe $\ln(1+x)-x$.

Est-ce que vous pourriez expliciter le DL en question s'il vous plait (j'ai l'impression que celui de ln(1+x) ne mène à rien...) ? Merci

Totototo

Invité

Re : Equivalent, suite

Bonjour,

Un DL à l'ordre 2 de $\ln(1+x)$ en 0 donne un équivalent de $f(x)$ au voisinage de 0.
En combinant cet équivalent avec
1) la suite $(nf(a_n/n))$ converge vers 0 (message 1 petitponey) et
2) la suite $(a_n/n)$ converge vers 0,
Conclure.

Alfred V.

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Re : Equivalent, suite

Cela suffit amplement pour conclure en effet, merci beaucoup