Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 08-04-2024 16:04:01
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Base de topologie sur $X$
Bonjour tout le monde
Soit $X$ un ensemble topologique
Soit (*) un ensemble de parties de $X$
S'il vous plait , pour montrer que (*) est une base de topologie pour $X$ , est ce qu'il suffit de vérifier que toute intersection (quelconque ou finie ?) d'ensembles de (*) est bien un ensemble de (*) et que $X=\displaystyle \bigcup_{B \in (*)} B$
Dernière modification par tilda (08-04-2024 16:06:49)
Hors ligne
#2 11-04-2024 11:51:11
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Base de topologie sur $X$
Bonjour,
Je dirais qu'une partie $\mathcal B$ de $\mathcal P(X)$ est une base de topologie sur $X$ si et seulement toute intersection finie d'éléments de $\mathcal B$ est une réunion (quelconque) d'éléments de $\mathcal B$. Dans les intersections finies, il y a l'intersection indexée par l'ensemble vide qui est $X$.
Si toute intersection finie d'éléments de $\mathcal B$ est élément de $\mathcal B$, c'est bien sûr vérifié.
Dernière modification par Michel Coste (11-04-2024 11:53:07)
Hors ligne
#4 11-04-2024 13:48:08
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Base de topologie sur $X$
Parce qu'un élément de $\mathcal B$ est bien une réunion d'éléments de $\mathcal B$.
Hors ligne
#6 11-04-2024 14:30:16
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Base de topologie sur $X$
Avec plaisir.
La règle "Au moins ..." de ce forum ne permet pas de répondre simplement "Avec plaisir."
Hors ligne
#7 14-04-2024 16:26:50
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Re : Base de topologie sur $X$
il y a l'intersection indexée par l'ensemble vide qui est $X$.
Bonjour
intersection indexée par l'ensemble vide veut dire intersection des ensembles vides ?
Dernière modification par tilda (14-04-2024 16:34:05)
Hors ligne
#8 14-04-2024 16:33:27
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Base de topologie sur $X$
Bonjour,
Non, c'est l'ensemble des indices qui est vide :
$$\bigcap_{i\in \emptyset} U_i = \{ x\in X\mid \forall i\in \emptyset\ \ x\in U_i\} = X$$
Hors ligne
#10 14-04-2024 18:12:44
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Base de topologie sur $X$
Non, $x\in U_i$ c'est $x\in U_i$. Qu'est-ce qui n'est pas clair pour toi?
Une famille de parties de $X$ indexée par l'ensemble $I$, c'est une application $U : I\to \mathcal P(X)$. On a l'habitude, pour les familles, de noter $U_i$ plutôt que $U(i)$, mais c'est bien la même chose.
En suite, l'intersection d'une famille de partie de $X$, c'est par définition
$$\bigcap_{i\in I} U_i = \{x\in X \mid \forall i\in I\ \ x\in U_i\}\;.$$On ne fait ensuite qu'appliquer cette définition pour l'ensemble $I=\emptyset$. La formule $\forall i\in \emptyset\ \ x\in U_i$ est vraie quel que soit $x\in X$ : une formule quantifiée universellement sur l'ensemble vide est toujours vraie. Exemple : "tous les martiens sont verts". Si tu ne le crois pas, apporte-moi un martien qui n'est pas vert !
Hors ligne
Pages : 1