Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Non, $x\in U_i$ c'est $x\in U_i$. Qu'est-ce qui n'est pas clair pour toi?
Une famille de parties de $X$ indexée par l'ensemble $I$, c'est une application $U : I\to \mathcal P(X)$. On a l'habitude, pour les familles, de noter $U_i$ plutôt que $U(i)$, mais c'est bien la même chose.
En suite, l'intersection d'une famille de partie de $X$, c'est par définition
$$\bigcap_{i\in I} U_i = \{x\in X \mid \forall i\in I\ \ x\in U_i\}\;.$$On ne fait ensuite qu'appliquer cette définition pour l'ensemble $I=\emptyset$. La formule $\forall i\in \emptyset\ \ x\in U_i$ est vraie quel que soit $x\in X$ : une formule quantifiée universellement sur l'ensemble vide est toujours vraie. Exemple : "tous les martiens sont verts". Si tu ne le crois pas, apporte-moi un martien qui n'est pas vert !

Bonjour,
Non, c'est l'ensemble des indices qui est vide :

$$\bigcap_{i\in \emptyset} U_i = \{ x\in X\mid \forall i\in \emptyset\ \ x\in U_i\} = X$$

Avec plaisir.
La règle "Au moins ..." de ce forum ne permet pas de répondre simplement "Avec plaisir."

Parce qu'un élément de $\mathcal B$ est bien une réunion d'éléments de $\mathcal B$.

Bonjour,
Je dirais qu'une partie $\mathcal B$ de $\mathcal P(X)$ est une base de topologie sur $X$ si et seulement toute intersection finie d'éléments de $\mathcal B$ est une réunion (quelconque) d'éléments de $\mathcal B$. Dans les intersections finies, il y a l'intersection indexée par l'ensemble vide qui est $X$.

Si toute intersection finie d'éléments de $\mathcal B$ est élément de $\mathcal B$, c'est bien sûr vérifié.