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Bouillabesse

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Valeurs propres d'un endomorphisme

Bonsoir à tous,

Je viens de retrouver un exercice sur les valeurs propres, et suis à court d'idées pour la résolution.
Le voilà :

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, p un projecteur fixé de E et : [tex]F : L(E) \to L(E)[/tex] définie par :
[tex]F : f \mapsto \frac{1}{2} (f \circ p + p \circ f) [/tex]

a. F est-elle linéaire ?
b. Donner ses valeurs propres
c. Quelles sont les dimensions des sous-espaces propres associés ?

J'en suis là :

a. Oui (il suffit de l'écrire), il y a linéarité de la composition dans L(E)

b. Soit [tex] \lambda [/tex] une valeur propre. Alors il existe f non nul tel que [tex] \frac{1}{2} (f \circ p + p \circ f) = \lambda . f[/tex]... (*) J'ai pensé à composer par p d'abord à gauche sur (*), puis à nouveau sur (*) mais à droite,  j'obtiens
[tex]2 \lambda p \circ f = p \circ f \circ p + f [/tex] car p projecteur
[tex]2 \lambda f \circ p = f + p \circ f \circ p [/tex]
Ces deux expressions étant égales, [tex]\lambda (p \circ f - f \circ p) = 0[/tex]
Donc soit f et p commutent, soit 0 est valeur propre (ce qui d'après (*) revient à dire qu'ils anticommutent)... Et je ne vois comment m'en sortir à partir de là.

Pourriez-vous m'éclairer ?
Bonne soirée

Fred

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Messages : 7 352

Re : Valeurs propres d'un endomorphisme

Bonsoir,

Attention! Quand tu composes, tu as $p^2=p$ et non $p^2=Id$ et donc ce que tu obtiens est faux.

Voici une piste pour débuter et trouver des valeurs propres :

  Soit $f$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.
Si $x\in \ker(p)$, alors $f\circ p(x)+p\circ f(x)=p\circ f(x)$ et on veut que ce soit égal à $2\lambda f(x)$.
Donc ou bien $f(x)=0$ ou bien $\lambda=0$ ou $\lambda=1/2$ puisque les seules valeurs propres de $p$ sont $0$ et $1$.
Si $x\in \textrm{Im}(p)$, alors $f\circ p(x)+p\circ f(x)=f(x)+p\circ f(x)$ et on doit avoir
$p\circ f(x)=(2\lambda-1)f(x)$. A nouveau, on en déduit que $f(x)=0$ ou bien que $(2\lambda-1)\in\{0,1\}$.
On doit obtenir encore que $\lambda=0$ ou $\lambda=1/2$.
Maintenant, il faut un peu discuter pour savoir si $0$ et $1/2$ sont bien des valeurs propres, et pour trouver la dimension des sous-espaces propres associés (qui va sans doute dépendre de la dimension de $\ker(p)$ et $\textrm{Im}(p)$...).

F.

[edit : Ah! En même temps que Glozi qui explore une autre méthode! ]

Glozi

Invité

Re : Valeurs propres d'un endomorphisme

Bonsoir,
Je ne vois pas comment aboutir avec cette stratégie (ça n veut pas dire que ce n'est pas possible). Je vois une erreur quand tu dis que les deux expressions sont égales (l'une est $p\circ f\circ p+p\circ f$ l'autre $p\circ f\circ p+f\circ p$).
Je vois une approche matricielle, prenons une base $\mathcal{B}$ dans laquelle la matrice de $p$ est $\begin{pmatrix} I_r & 0_{r,n-r}\\ 0_{n-r,r} & 0_{n-r,n-r}\end{pmatrix}$ (écriture par blocs). Dans cette base on écrit la matrice de $f$ comme $M=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}$ (écriture par blocs avec la même taille des blocs que pour l'écriture de $p$), calculer matriciellement $\frac{1}{2}(p\circ f+f\circ p)$ et $\lambda f$, je te laisse poursuivre.
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Valeurs propres d'un endomorphisme

Je n'avais pas vu que Fred avait répondu :-)
Au fait $1$ est toujours une valeur propre dès que $p$ est non nul (on peut prendre $f=p$). Cela se voit aussi dans la méthode de Fred puisque $2\lambda-1\in \{0,1\} \Leftrightarrow \lambda\in \{\frac{1}{2},1\}$.
Bonne soirée

Bouillabesse

Membre

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Messages : 2

Re : Valeurs propres d'un endomorphisme

Re,

En effet erreur de ma part, j'ai confondu avec les symétries
Merci pour vos pistes, j'essaye ce soir et reviens vers vous si ça n'aboutit pas.

Bonne soirée