Qui veut de la géométrie "à l'ancienne" ?

Borassus · 04-04-2024 10:12:28

Bonjour yoshi,

Je l'ai effectivement reçu hier soir. (Je t'ai répondu par courriel.)
Merci.

Je m'y attaquerai dès aujourd'hui.

yoshi · 04-04-2024 18:01:03

Bonjour,

Voilà, en images (et pour vous avec le minimum de texte : je sais aussi le réduire drastiquement ^_^) comment mes 6e/5e arrivaient aux formules d'aire autres que celles du rectangle...

Métamorphoses

Ils construisaient à chaque fois 2 figures identiques : la première sur le cahier, la 2e sur une feuille de couleur qui servait à la (aux) découpe(s). Cela fait, le(s) morceau(x) découpé(s) était (étaient) collé(s) sur la figure du cahier.

1. Le triangle

Le rectangle contient 2 fois le triangle, d'où la division par 2 pour l'aire d'un seul triangle.

2. Le parallélogramme

Le rectangle obtenu ne contient qu'un seul parallélogramme : pas de division par 2.

3. Le losange

4. Le trapèze

Il n'y a qu'un seul 1 seul trapèze dans le rectangle obtenu. La longueur de ce rectangle est celle de la base moyenne du trapèze.

@+

Borassus · 07-04-2024 08:11:35

Bonjour Yoshi, bonjour à tous,

Je me suis plongé hier soir, avec un peu de retard, dans les premières pages ton dictionnaire. (Je me suis arrêté à l'article Diviseur.)

J'y ai appris l'apothème — donc, quelqu'un fort en géométrie est un "fort en apothème" ? :-) —, la notion de segments adjacents, le terme "cocycliques".
J'ai aussi perçu l'intérêt de faire construire avec soin à un(e) élève un cercle exinscrit — je ne savais pas qu'il fallait ajouter « dans tel angle du triangle » — car cela nécessite plusieurs étapes et autant d'explications.

C'est un travail admirable, que je n'ai vu chez aucun de mes élèves !
(J'ai vu, à travers eux, des profs fournir en ligne une bibliothèque riche en cours et en corrigés, mais je n'ai jamais vu un prof mettre à disposition un tel dictionnaire.)
Bravo !

Je crois que tu es l'archétype du prof "à l'ancienne" pour qui son métier n'est pas seulement un sacerdoce, mais un acte profond d'amour et de générosité.

Comme je te l'ai écrit, je me reconnais un peu en toi, et regrette de ne pas avoir connu d'autres expériences d'enseignement que les deux que j'ai eues en collège et en lycée il y a huit ans. Mais je m'y serais consumé à la vitesse d'une branche de sapin jetée dans un feu de cheminée ! Te rends-tu compte, Yoshi, que je passais une heure par copie ! — cent copies à corriger, cent heures, prises sur mes nuits et mes dimanches, les samedis étant chargés de 9 h à 23 heures par mes cours particuliers —, avec des émotions indescriptibles aussi bien à la lecture d'une copie magique — combien alors je remerciais l'élève ! — qu'à la découverte d'une copie me plongeant dans le désespoir et la culpabilité — comment ai-je pu ne pas me rendre que l'élève n'avait en fait rien compris ??!!

Précieux Yoshi, ce qui suit n'est en aucune façon une critique, mais le fruit de ma libération constante, volontaire, des formules devenues de véritables incantations intangibles, et donc indéfiniment répétées.

Voici donc comment j'enseigne maintenant les aires des différentes figures géométriques. (Il m'a fallu du temps pour me libérer des formules. Je rejette notamment le terme de "base" : pourquoi un triangle, un trapèze, un parallélogramme doit-il toujours être poliment posé sur l'horizontale ? Où est la base d'un triangle, d'un trapèze, d'un parallélogramme quelconque orienté n'importe comment ? )

Aire d'un triangle
L'aire de n'importe quel triangle, quelle que soit sa forme, est égale à la moitié de l'aire du rectangle formé par un de ses côtés et la hauteur issue du sommet opposé (ou arrivant sur ce côté).
Je dessine un triangle quelconque — du moins je m'efforce à ce qu'il soit quelconque, éventuellement avec un angle obtus — et demande de tracer les trois rectangles formés par chacun des côtés.
Le triangle rectangle est un cas particulier : la hauteur correspondant à un côté de l'angle droit est en effet l'autre côté de l'angle droit. (Je demande aussi de tracer le rectangle construit à partir de l'hypoténuse.)
Cas particulier qu'on peut aussi formuler comme suit : la logique observée pour un triangle rectangle prévaut pour n'importe quel triangle.

Aire d'un parallélogramme
L'aire d'un parallélogramme est égale celle du rectangle formé par deux côtés opposés et la distance qui les sépare. (J'explique que la distance entre deux droites parallèles est la longueur du segment joignant les deux intersections d'une droite perpendiculaire à ces deux droites.)
Je fais tracer les deux rectangles : celui construit sur les grands côtés, et celui construit sur les petits côtés.
Le rectangle, le carré sont des cas particuliers. Dans tous les cas, l'aire d'un parallélogramme, avec ou sans angle droit, est l'aire du rectangle formé par deux côtés parallèles et la distance qui les sépare.

Aire d'un trapèze
L'aire d'un trapèze est égale à celle du rectangle formé par la moyenne des deux côtés parallèles et la distance séparant ces deux côtés.
Là, un seul dessin est possible.

Aire d'un losange
Outre l'aire calculée à partir de deux côtés parallèles, l'aire d'un losange est égale à la moitié de l'aire du rectangle formé par les deux diagonales du losange.
Là aussi, un seul dessin est possible.

Aire d'un quadrilatère convexe quelconque. (J'explique ce qu'est un polygone convexe.)
Elle est égale à l'aire du rectangle formé par les perpendiculaires aux deux diagonales, moins celle des quatre triangles rectangles superflus.

En généralisant : l'aire de tout triangle est la moitié de l'aire d'un rectangle ; l'aire de tout parallélogramme et de tout trapèze est celle d'un rectangle.
(Exception toutefois de l'aire d'un losange calculée à partir de ses diagonales.)
_______________________________

Autre point (parmi beaucoup d'autres...) vis-à-vis duquel je suis rebelle : la confusion entre le coefficient directeur d'une droite et le coefficient de linéarité de la fonction affine qu'elle représente.

En mode numérique, dans l'expression d'une fonction affine $f(x) = mx + p$ (ou $f(x) = ax + b$), le coefficient de $x$ est appelé "coefficient de linéarité" car il traduit la proportionnalité — linéarité et proportionnalité sont synonymes — entre l'accroissement de la fonction et l'accroissement de la variable qui le génère :
$\dfrac {f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} = m$
d'où $f(x_2) - f(x_1) = m(x_2 - x_1)$

En mode graphique, dans l'équation de la droite $y = mx + p$ (ou $y = ax + b$), le coefficient de $x$ est appelé "coefficient directeur" car, comme son appellation l'indique explicitement, il fournit la direction de la droite : à partir d'un point de la droite, tant parallèlement à l'axe des abscisses, tant parallèlement à l'axe des ordonnées, exactement comme le fait un vecteur directeur de la droite.
Donc si les coordonnées du vecteur directeur choisi sont $\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$, le coefficient directeur correspondant est égal à $\dfrac \beta \alpha $.

Par exemple, le coefficient $2$ de l'équation $y = 2x - 1$ peut être interprété de multiples façons :

$\dfrac 2 1$ : une unité parallèlement à l'axe des abscisses, dans le sens positif (vers la droite dans le cas d'un repère orthonormé classique), deux unités parallèlement à l'axe des ordonnées dans le sens positif (vers le haut)

$\dfrac {-2}{-1}$ : une unité parallèlement à l'axe des abscisses, dans le sens négatif (vers la gauche), deux unités parallèlement à l'axe des ordonnées dans le sens négatif (vers le bas)

mais aussi, par exemple, $\dfrac 6 3$ : trois unités parallèlement à l'axe des abscisses, dans le sens positif (vers la droite), six unités parallèlement à l'axe des ordonnées dans le sens positif (vers le haut)

Ecrire que le coefficient directeur de la droite joignant deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est égal à $\dfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A}$, ce n'est pas spécifier la direction de la droite, c'est calculer le coefficient de linéarité de la fonction affine représentée par la droite.
Cela revient donc à mélanger logique graphique et logique numérique, en oubliant que la logique graphique est en quelque sorte un "sous-produit" de la logique numérique !

La rédaction qu'on devrait enseigner pour respecter la logique de direction devrait donc être :
Le passage de $A$ à $B$ équivaut à un déplacement de $x_B - x_A$ parallèlement à l'axe des abscisses, et à un déplacement de $x_B - x_A$ parallèlement à l'axe des ordonnées, soit parallèlement à un vecteur directeur de coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - x_A \end{pmatrix}$
La direction de la droite est donc spécifiée par le quotient $\dfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Vous me direz « Ben oui, le coefficient directeur est donc bien égal à $\dfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Où est le problème ? »

Certes. Mais la démarche est radicalement différente : à une formule qu'on applique "bêlement", qui relève d'une logique numérique, on préfère un raisonnement qui traduit réellement la signification du coefficient directeur.
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Encore un point qui renvoie à un fameux débat dans la discussion « Question nomenclature » (https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16832) :

Yoshi, tu écris très justement
« On dit qu'un nombre entier b est un diviseur d'un nombre entier a s'il existe un nombre entier k tel que : a = k x b
Dans ce cas, k est aussi un diviseur de a, c'est le quotient exact de la division de a par b. »

Donc, avec cette définition du diviseur d'un entier, la division euclidienne de $a$ par $b$ doit être $a = qb + r$, qui s'interprète « $a$ est multiple de $b$ à $r$ unités près... :-)
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Sur ce, je vais essayer de dormir un peu : lorsque je me réveille à trois ou quatre heures parce qu'une pensée écriture me lancine, je sais, par expérience moult fois répétée, que je ne me rendormirai pas avant d'avoir écrit ce qui me taraude l'esprit. Là je sens la fatigue m'envahir.

Bonne journée de dimanche !

yoshi · 07-04-2024 13:05:27

Ave,

Merci de tes retours.
** Petit rappel **.
Ce lexique, ne se voulait pas un "manuel", ni un résumé d'une sorte d'Encyclopedia Universalis", mais un aide-mémoire un peu plus riche que les lexiques en fin de bouquin et destiné essentiellement à un public 6e-3e.
Si des élèves de 2nde/1ere "normale" y ont trouvé leur bonheur, ce fut une cerise sur un gâteau.
Il est né de ce constat que le vocabulaire mathématique (ou les termes courants en maths) étaient un piège redoutable... Combien de fois, même lors d'une interrogation, ne m'a-t-on pas interrogé : << Monsieur, que veut dire tel mot ? telle phrase ? >> Je m'efforçais d'en donner un sens "prosaïque" accessible à tous...
Alors, j'entendais : << Ah, c'est ça que ça veut dire ? Bon, alors, j'ai compris... >>.

Coefficient de linéarité expression jamais entendue en Collège.
Quand j'avais à traiter la notion de coefficient j'introduisais la notion de pente (qui faisait image) en précisant que "coefficient directeur" était le terme générique et "pente" le nom du cas particulier du coefficient directeur positif...
Et pour te rejoindre, et comme je traitais ça après la trigo, je traçais des "escaliers" s'appuyant sur la droite tracée avec des longueurs de marches différentes, obtenant des triangles rectangles enchâssés me permettant de re-jouer avec les tangentes (sans réel besoin de calculer l'angle). Cette simple manip leur permettait de vérifier expérimentalement les calculs de coefficients directeurs (surtout lorsque cela concernait des parallèles ou des perpendiculaires !)...

J'y ai inclus des notions sur la manipulation des vecteurs,et de géométrie analytique (comme on disait avant) ou affine selon.. affinités : telles que je les ai vécues et enseignées en début de carrière, très peu de maths "modernes", élément neutre pour une opération donnée, associativité, commutativité (pas de barycentres...)
Bien sûr, il était hors de question que j'inclue ces manipulations dans mon lexique.
24 pages c'était déjà beaucoup pour nombre d'entre eux, j'aurais pu aller jusqu'à 50 pages mais j'ai tenu à l'éviter...
J'ai donc dû faire des choix.

Bon, il va falloir que j'arrête là, sinon DrStone va encore me dire que je suis trop long...

J'en termine avec 2 conseils pour ton sommeil.
Si tu refais des maths dans ta tête au point que ça t'empêche de dormir (je connais ça, mais avant l'endormissement)
- Tu peux (et dois) t'efforcer de t'empêcher de penser : fais le vide dans ton esprit (bien sûr, à un moment le contrôle faiblit, là tu t'en aperçois et refais le vide) ; en même temps (comme dit "quelqu'un") tu t'imposes de respirer/expirer lentement et profondément.
- Au coucher (voire après, passe brièvement tes jambes sous une douche chaude, ensuite à l'au froide le temps que tu les sentes froides), puis tu les tamponnes avec une serviette (pas d'essuyage) et tu vas demander à notre amie si elle veut bien t'accueillir. Tu devrais sentir progressivement tes jambes se réchauffer agréablement.

@+

Borassus · 07-04-2024 23:31:32

Bonsoir ou bonjour,

A mon tour, Yoshi, de te remercier de tes retours.

J'ai parfaitement compris que tu souhaitais réaliser un aide-mémoire sensiblement plus étoffé que ceux fournis en fin de manuel, qui sont en général assez succincts.
Et il remplit parfaitement son rôle, y compris pour les élèves de lycée.

Il y a en effet chez eux — du moins ceux que je vois — un très important oubli des notions vues lors des classes précédentes, notamment en géométrie, qui est la parente pauvre par rapport aux fonctions et à leur représentation.
En vrac, quelques exemples, sous forme d'anaphore, parmi je ne sais combien d'autres :
ils ne savent plus quelle est la propriété essentielle d'une médiatrice, d'une bissectrice ;
ils ne savent plus ce que sont les angles alternes-internes, alternes -externes, correspondants, ni leur égalité si les deux droites sont parallèles ;
ils ne savent plus que si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, ils sont égaux ;
ils ne savent plus que si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, la mesure de l'angle au centre est double de celle de l'angle inscrit ;
ils ne savent plus que dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle ;
ils ne savent plus ...
ils ne savent plus ...,
et pas seulement en géométrie.

Je vous promets, c'est véritablement déroutant !

Je compare souvent l'enseignement des maths à un faisceau lumineux se déplaçant horizontalement dans l'obscurité : ce qui n'est pas encore vu est encore dans l'ombre ; ce qui a été vu disparaît rapidement dans l'ombre.

Je m'efforce en permanence d'élargir le faisceau :
vers ce qui n'a pas encore été vu de façon à faire comprendre la logique d'ensemble des notions actuellement vues ;
mais aussi, très fréquemment, vers ce qui a été vu "dans une vie antérieure", à tel point que la consolidation des notions précédentes peut parfois représenter presque l'essentiel d'une séance.

Et les rappels ne concernent pas seulement de lointaines notions, mais bien trop souvent des notions vues tout juste la semaine précédente.
En caricaturant (pas beaucoup...), on pourrait évoquer "une mémoire de poisson rouge".

Je répondrai demain de façon un peu plus technique à ton message.

@+

PS : Je sais que je ne dois pas faire de maths après 23 h. Or j'ai commencé à lire ton dico à minuit passé...

Dernière modification par Borassus (07-04-2024 23:51:55)

Borassus · 08-04-2024 17:11:09

Bonjour

[...] mais aussi, très fréquemment, vers ce qui a été vu "dans une vie antérieure", à tel point que la consolidation des notions précédentes peut parfois représenter presque l'essentiel d'une séance.

Un grand classique de géométrie que je rappelle à mes élèves de Terminale ( je leur ai d'ailleurs rédigé un cours à ce sujet) : les théorèmes des milieux, alors que les exercices de géométrie dans l'espace sont truffés de milieux d'arêtes de cube, ou de droites parallèles à une autre et passant par le milieu d'une arête.

Je reprends ma réponse. (J'ai cours toutes les matinées durant ces deux semaines de vacances. Je ne peux donc écrire que l'après-midi.)

yoshi a écrit :

Il est né de ce constat que le vocabulaire mathématique (ou les termes courants en maths) étaient un piège redoutable... Combien de fois, même lors d'une interrogation, ne m'a-t-on pas interrogé : << Monsieur, que veut dire tel mot ? telle phrase ? >> Je m'efforçais d'en donner un sens "prosaïque" accessible à tous...
Alors, j'entendais : << Ah, c'est ça que ça veut dire ? Bon, alors, j'ai compris... >>.

C'est ô combien vrai !
Une élève de Terminale me faisait remarquer récemment qu'elle se perd dans toute la terminologie liée aux fonctions.

Quand j'avais à traiter la notion de coefficient j'introduisais la notion de pente (qui faisait image) en précisant que "coefficient directeur" était le terme générique et "pente" le nom du cas particulier du coefficient directeur positif...
Et pour te rejoindre, et comme je traitais ça après la trigo, je traçais des "escaliers" s'appuyant sur la droite tracée avec des longueurs de marches différentes, obtenant des triangles rectangles enchâssés me permettant de re-jouer avec les tangentes (sans réel besoin de calculer l'angle). Cette simple manip leur permettait de vérifier expérimentalement les calculs de coefficients directeurs (surtout lorsque cela concernait des parallèles ou des perpendiculaires !)...

C'est absolument étonnant : on n'évoque quasiment jamais la notion de pente, notamment dans le calcul de la dérivée. (Les élèves calculent des valeurs de dérivée sans comprendre ce qu'elles signifient, ni en tant que pente, ni en tant qu'amplification ou qu'atténuation)
Elle est pourtant beaucoup plus parlante que celle de coefficient directeur.

J'explique ce que représente concrètement une pente de 0.2, soit 20 %, qui correspond aux pentes les plus raides du réseau de départementales en France (20 % dans les Bouches-du-Rhône, 22 % en Haute-Garonne ; les élèves sont d'ailleurs étonnés de découvrir que les panneaux de pente qu'ils voient sur les routes relèvent d'une logique de dérivée ou de coefficient directeur), ce qu'est une pente de 1, soit 100 %, qui est la pente des deux pistes de ski les plus pentues du monde (la Kandahar à Garmish Partenkirchen, en Allemagne, de 92 %, et le Grand Couloire à Courchevel, de 85 %), et qu'elle est la pente théorique maximale que peut gravir un 4x4 (au-delà il risque de basculer en arrière).

Etonnant aussi, je n'ai pas vu une seule fois dans les notes et polycopiés de cours l'indication que le nombre dérivé en un point est égal, au signe près, à la tangente (au sens trigonométrique) de l'angle aigu formé par la tangente (au sens géométrique) avec l'axe des abscisses, et donc que la connaissance du nombre dérivé en un point permet de calculer l'angle que fait la tangente avec l'axe des abscisses. (« Là, tu vois, la touche "tan" est accompagnée de sa fonction réciproque atan. »)
Excellente occasion d'expliquer pourquoi une fonction n'est pas dérivable pour une valeur donnée lorsque le taux d'accroissement tend vers l'infini : la tangente au point correspondant est verticale (verticale ascendante ou descendante, selon le signe du taux d'accroissement).

Concernant enfin mon sommeil, merci de ces conseils (étonnants) ! Je n'ai pas de difficulté à m'endormir et ne sais pas m'instituer des rituels d'avant-dodo. (Souvent la simple fatigue joue le rôle d'endormisseur efficace.)
Par contre, si je fais des maths trop tard dans la soirée, le cerveau continue à en faire pendant mon sommeil, jusqu'à me réveiller vers 3 h.
(Le pire a été lorsque je suivais un élève passionné et passionnant en Première année de Prépa commerciale dans un lycée prestigieux : si je n'avais pas su résoudre un exercice avant de me coucher, je me réveillais à 3 h, inscrivais la solution sur mon tableau Velleda que j'avais en permanence à cette fin à côté de mon lit, photographiais la résolution, l'envoyais par sms, et me rendormais. Comme je l'ai déjà écrit, ce n'est pas un hasard si j'ai fait un arrêt cardiaque il y a cinq ans...)

yoshi · 08-04-2024 19:28:57

RE,

C'est absolument étonnant : on n'évoque quasiment jamais la notion de pente, notamment dans le calcul de la dérivée. (Les élèves calculent des valeurs de dérivée sans comprendre ce qu'elles signifient, ni en tant que pente, ni en tant qu'amplification ou qu'atténuation)
Elle est pourtant beaucoup plus parlante que celle de coefficient directeur.

Je faisais dès la 6e tracer des escaliers pour tracer des parallèles et des perpendiculaires, je poursuivais en 3e avec coefficient directeur = tangente de l'angle (au passage, as-tu remarqué que nombre de calculatrices notent - notaient ? - l'horripilant $\tan^{-1}$ et non $\text{atan}$ ?) pouvant ainsi vérifier que si les droites sont // alors m = m' ou perpendiculaires mm' = 1 (ou m'=-1/m), voire trouver graphiquement des équations de droites (bon, maintenant, c'est du passé, hors programme...)

Concernant les phénomènes d'amnésie des élèves, ce même constat avait été fait par Fred, dans le Supérieur.
Face à un étudiant qui "patinait dans la choucroute", il l'avait mis sur la voie et ajouté :
- Je ne sais pas si vous vous en rendez compte, mais vous avez vu ces notions en 1ere S, quand même !
Et l'étudiant de répondre :
- Oui, bien sûr ! Mais, c'est loin !

Une élève de Terminale me faisait remarquer récemment qu'elle se perd dans toute la terminologie liée aux fonctions.

Oui, mais (sauf si j'ai l'esprit gauchi par mon passé de prof) j'aurais tendance à dire qu'elle et ses petits camarades dans le même cas ont cherché les bâtons pour se faire battre : à part quelques mots précis (exemple l'adjectif affine), le vocabulaire mathématique si on se donne tôt la peine de l'apprendre, de le comprendre, il est bien plus difficile de se noyer par la suite...

Si je n'avais pas su résoudre un exercice avant de me coucher, je me réveillais à 3 h, inscrivais la solution sur mon tableau Velleda que j'avais en permanence à cette fin à côté de mon lit.

Moi, j'y pensais avant le coucher puis je foutais la paix à mon cerveau, qui, je l'avais constaté, se débrouillait bien mieux sans interventions parasites de ma part. Et le matin au réveil, j'avais souvent la réponse attendue.
En outre, si toi, tu travailles la nuit, moi une année durant, ce fut le dimanche : je ne faisais pas des Maths, mais du Latin...
Tu vas avoir une idée de ce que peut être un prof inconscient (je l'ai été, je m'en rends compte maintenant), voilà une anecdote (qui valait bien un fromage sans doute disait le Renard) que je raconte souvent (j'en rigole encore. J'ignore si quelqu'un a pu être assez fêlé pour tenter un truc pareil. Pourtant, j'avais obtenu des résultats...)

Une année, j'avais été particulièrement excédé d'entendre nombre d'élèves d'une classe de 5e me répéter la même antienne :
<< C'est normal que vous sachiez faire : vous êtes prof de maths >>[/quote}
J'avais riposté en leur disant : << Vous n'avez pas l'impression de prendre les choses à l'envers ? Si je suis prof de maths, c'est ce que je savais faire. Pas le contraire...>>

En général, ils ne le disent pas, mais ils le pensent tellement fort qu'en étant attentif on peut l'entendre !

Puis, après une pause pour les laisser digérer, j'avais ajouté :

Je vais faire un pari avec vous : je vais vous montrer que si on sait apprendre et qu'on veut comprendre, on est capable d'apprendre n'importe quoi.

Je les regardais bien en face, avec un petit sourire en coin, comme si c'était une bonne blague....
Je les voyais chercher où je voulais en venir, incapables de savoir si c'était du lard ou du cochon...
Alors, j'avais repris :

<< Quand j'étais Lycéen, je n'ai jamais appris le Latin. Un certain nombre d'entre vous vont choisir l'option Latin l'an prochain, alors je vais redevenir un élève parmi les élèves et si votre prof de Latin accepte et que l'horaire le permet, je m'assiérai avec vous, je suivrai vos cours, ferai les mêmes exercices et les mêmes interros...
Mais attention ! Si je m'aligne avec vous, ce ne sera pas pour vous regarder devant moi... mais derrière moi ! >>

Stupéfaction et incrédulité prédominaient. A partir de là, les rouspétances avaient diminué...
A la pré-rentrée de septembre, voyant que j'étais le prof de maths de la 4e qui comptait le maximum de latinistes, je compare mon emploi du temps avec celui de la prof de Latin : 1 h coïncidait, et j'ai eu son accord d'être un élève de plus...

Dans les deux jours qui avaient suivi, deux de mes anciens, étaient venus me trouver : << Monsieur ? Et votre promesse ? Nous, on n'a pas oublié... >>
Réponse : << Moi non plus ! Je serai avec vous, dès lundi prochain ! >>.

.. Surprise ! Ils avaient cru à des paroles en l'air.
Il y avait deux classes de 4e latinistes et ils avaient un horaire commun (2 h/sem) pour être réunis...
Ça devait être une classe de 25/26 latinistes (je ne me souviens plus, ça doit remonter entre 1984 à 1988).
La vérité m'oblige à dire que 3 ou 4 d'entre eux étaient souvent meilleurs que moi, mais j'avais acquis leur respect et aucune de mes classes n'avait plus chouiné...
Mieux ^_^

Un jour, les deux du début sont venus me trouver, ne doutant de rien, en me disant :
<< Monsieur, on avait des exercices de Latin pour aujourd'hui, mais on avait trop de travail, on n'a pas pu les faire !... Mais on sait que vous, vous les avez faits, vous pouvez nous les passer ? >>

Je les avais éconduis gentiment avec une petite leçon de morale moqueuse.
Mon dimanche entier était consacré au Latin, j'apprenais la leçon, seul, en avance et faisait TOUS les exercices du chapitre, puis les donnais à corriger à ma Collègue...

Le dimanche donc, il fallait que je sois efficace, j'apprenais donc mes leçons à ma façon avec des méthodes mi-bricolo, mi maths/programmation.
Cette année-là au moins, dans mes classes, j'avais eu une paix royale...
Ce fut une sacrée expérience, révélatrice et formatrice... pour les deux côtés !
Voili, voilou...

@+

jelobreuil · 08-04-2024 21:35:56

Bonsoir, Borassus, Yoshi, et tous les autres !
Sais-tu, Yoshi, que tu es vraiment étonnant ? Et je dirais même plus : épatant ! Au sens premier, fort !
Pour ce qui est de faire de la géométrie "à l'ancienne", j'ai trouvé depuis peu un bon filon : la section "geometry" du site anglophone "Art of Problem Solving". C'est d'un niveau assez relevé, du moins pour moi : un assez grand nombre de ces problèmes ont été proposés aux concurrents de diverses Olympiades ...
Si cela m'est permis, j'aimerais en proposer quelques-uns ici (traduits en français, bien sûr !) dans le sous-forum dédié.
Bien amicalement, JLB

yoshi · 08-04-2024 21:49:58

Re,

Bin, si c'est d'un niveau assez relevé pour toi (les autres, je ne sais pas), moi en tout cas, je ne risque pas de m'auto-épater ;-)
(Très) Difficile d'être et avoir été...Je commence à me rouiller sérieusement !

Je ne sais plus quel cynique a dit :
Les vieillards aiment à donner de bons conseils pour se consoler de ne plus être en mesure de donner de mauvais exemples !

Pourquoi demander la permission ?
Membre à part entière, pourquoi devrait-on restreindre ton champ de publication ?...
Je ne vois pas où il pourrait y avoir contre-indication ou violation de notre charte dans ta proposition...

@+

jelobreuil · 09-04-2024 09:42:57

Merci , Yoshi !
Ce que je craignais, c'est de commettre une espèce de plagiat ou de contrevenir à des règles de bienséance entre sites mathématiques ...
Mais comme ces problèmes sont publiés en général au moins pour la deuxième ou troisième fois ...
Bien amicalement, JLB

Borassus · 09-04-2024 13:53:06

Bonjour Yoshi, bonjour à tous,

Je rejoins totalement jelobreuil : tu es étonnant, et épatant !
Si j'avais continué mon expérience de prof de classe, et si j'avais connu Bibm@th plus tôt, combien mes échanges avec toi m'auraient été précieux ! Et combien ils auraient enrichi mon propre style (très) personnel !

Je faisais dès la 6e tracer des escaliers pour tracer des parallèles et des perpendiculaires

C'est-à-dire ? Comment tracer des parallèles et des perpendiculaires à l'aide d'escaliers ?

(au passage, as-tu remarqué que nombre de calculatrices notent - notaient ? - l'horripilant $\tan^{-1}$ et non
atan ?)

Oui, je n'aime pas non plus cette notation qui retire la signification de atan, acos, asin : arc dont la tangente (le cosinus, le sinus) est égal(e) à

Concernant les phénomènes d'amnésie des élèves, ce même constat avait été fait par Fred, dans le Supérieur.

Il n'y a pas besoin d'attendre le Supérieur pour entendre « Mais c'est loin ! ».
Je l'entends de Terminale à Première, de Première à Seconde.

Je crois que l'une des principales causes de cette amnésie est la quasi absence d'exercices (notamment de DM qui permettent de faire des recherches normalement hors stress) faisant se rappeler les notions vues antérieurement.
Par exemple, je n'ai vu qu'un seul exercice de DM de Terminale faisant référence à la relation entre angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc. (C'était un exercice faisant calculer le sinus et le cosinus d'un angle spécifique de deux façons, par analyse géométrique, et par calculs utilisant les nombres complexes. L'élève avait complètement oublié cette relation entre angle inscrit et angle au centre.)

Moi, j'y pensais avant le coucher puis je foutais la paix à mon cerveau, qui, je l'avais constaté, se débrouillait bien mieux sans interventions parasites de ma part. Et le matin au réveil, j'avais souvent la réponse attendue.

Il faudrait que j'apprenne à dire à mon cerveau « Tu travailles dans ton coin si cela te fait plaisir, mais tu me fous la paix tant que je n'ai pas fait ma nuit ! Tu me diras ce que tu as trouvé demain matin. Pas avant ! »

Si je suis prof de maths, c'est que je savais faire. Pas le contraire.

Je transmets un message de même ordre : « La meilleure façon de comprendre est d'expliquer. Donc explique le plus possible ce que tu comprends à tes copains et copines de classe ! Tu leur rends service, tu te valorises socialement, et tu consolides ta propre compréhension. Pour ma part, plus j'enseigne, plus je comprends. »
(J'ai eu un élève de Terminale qui était complètement dans la mentalité compétition. Il me répondait « Si j'explique aux autres ce que vous m'expliquez, je leur donne un avantage. »)

Autre message que je transmets : « Nous nous trompons presque autant que vous, surtout en voulant aller trop vite. Mais nous avons des mécanismes d'alerte que vous n'avez pas. Donc nous repérons très vite que "quelque chose ne va pas". »
C'est d'ailleurs quelque chose qui n'est malheureusement pas du tout enseigné : vérifier à chaque instant la cohérence de ce qu'on écrit.
Les élèves me voient souvent me tromper, le plus souvent par précipitation ; je leur explique alors le signal d'alerte qui m'a permis de déceler l'erreur. Et je leur dis aussi « Tu vois qu'il est très facile de se tromper sur ce point particulier. La preuve, c'est que tu m'as vu me tromper en direct. »

Ton récit étonnant à propos de ton apprentissage du latin

Je crois profondément que cette humilité face à un savoir qu'on a pas manque terriblement à un certain nombre de profs, et en particulier aux profs de maths, qui ont tendance à considérer, du fait de l'importance (démesurée ?) accordée à leur matière, que si un ou une élève ne comprend rien aux maths, c'est qu'il ou elle a une intelligence qui frise la débilité mentale, et qu'il ou elle est tout juste capable de suivre un enseignement "de voie de garage" en attendant la fin de la scolarité obligatoire.
(J'ai écrit dans un post que j'avais vu des mères d'élève me relater les larmes aux yeux leur entrevue avec le prof de maths. J'ai aussi raconté dans ce post qu'une collègue a vu sur la copie d'une fille de 4ème ou de 3ème « Tu ne sais pas aligner deux fractions ! Que vas-tu faire de ta vie ? »)

Il serait bon qu'ils se heurtent de temps en temps à un apprentissage vis-à-vis duquel ils se sentent au même niveau de nullité que leurs élèves vis-à-vis des maths...
Accepteraient-ils alors qu'on les traite de la même façon qu'ils traitent leurs élèves les plus faibles ?

Dernière modification par Borassus (09-04-2024 14:22:19)

yoshi · 09-04-2024 14:55:49

Re,

Les élèves me voient souvent me tromper, le plus souvent par précipitation ; je leur explique alors le signal d'alerte qui m'a permis de déceler l'erreur.

Justification intéressante !
Moi, j'introduisais la notion de vitesse limite d'exécution des calculs propre à chaque individu.
Je disais : la différence entre le Prof et vous, c'est qu'il connaît sa vitesse limite et qu'il travaille en étant en dessous : les erreurs arrivent aussi chez lui s'il la dépasse... Donc, tâchez de la connaître pour vous, afin de travailler un peu moins vite...
Ils ne savent pas non plus, en général,apprendre à apprendre ! A aussi, c'est occulté tout au long de la scolarité

Tiens, un exo d'un de mes DM de 3e qui n'avait pas plu du tout... ;-)
J'espère qu'il t'agréera...

C'est-à-dire ? Comment tracer des parallèles et des perpendiculaires à l'aide d'escaliers ?

En 6e, sur un un papier quadrillé, à partir des pentes (sans prononcer le mot) des droites qui s'appuient (passent par) sur les points d'intersection des marches et des contre-marches, approchées en disant pour aller de A à B (deux de ces points) je monte (ou descend) verticalement de combien de carreaux puis je me déplace horizontalement (vers la G ou la D) de combien de carreaux ?
En 3e, on arrivait à la tangente, au coefficient directeur...

Je te ferai un peu plus tard un dessin...

@+

Borassus · 09-04-2024 15:27:24

Donc, tâchez de la connaître pour vous, afin de travailler un peu moins vite...

La très grosse difficulté à laquelle je me heurte est de contrecarrer le « J'ai pas l'temps » des élèves devant leur copie de contrôle.
« J'ai pas l'temps » mais je prends le temps de faire plein d'erreurs d'inattention qui me coûtent plein de points.

« J'ai pas l'temps » mais je me lance sans aucune observation préalable dans des calculs qui aboutissent à des expressions pas possibles, complètement nouées, alors que quelques secondes d'observation m'auraient permis de percevoir les simplifications que le prof a prévues, et qui, justement, permettent d'économiser beaucoup de temps.
(Je compare un prof concevant un exercice à un jardinier qui planque des œufs de Pâques dans un parc : avec un peu d'observation, on peut facilement deviner les cachettes probables. Quelquefois, je demande à un élève de concevoir des exercices en y planquant des simplifications. C'est alors moi qui dois les trouver.)

Tiens, un exo d'un de mes DM de 3e qui n'avait pas plu du tout... ;-)
J'espère qu'il t'agréera...

Merci, je vais m'y plonger dès que possible.

pour aller de A à B (deux de ces points) je monte (ou descend) verticalement de combien de carreaux puis je me déplace horizontalement (vers la G ou la D) de combien de carreaux ?

Ah oui, bien sûr, il y a le quadrillage ! C'est ce que j'explique aussi : compter le nombre de carreaux horizontalement et verticalement pour aller d'un point "qui tombe juste" à un autre point "qui tombe juste".
Je pensais que tu utilisais la technique des escaliers sur une feuille blanche sans quadrillage.

_______________

Petit ajout à mon post précédent concernant la bienveillance :

J'ai eu une élève dont la mère est prof de français dans un collège.
Nous nous comprenions très bien en matière de bienveillance : elle me racontait comment en conseil de classe elle défendait bec et ongles un ou une élève qui avait progressé de seulement deux points par rapport au trimestre précédent, tout en restant bien en-dessous de la moyenne. Ses collègues voyaient surtout la note trop faible ; elle voyait surtout la progression de deux points, et insistait pour que l'élève ait droit à des encouragements.

jelobreuil · 09-04-2024 17:17:11

Pourtant, Yoshi, je trouve que cet exercice de géométrie est vraiment très simple, pour qui a compris ce qu'est un angle inscrit et comment manipuler ces objets ... Mais c'est vrai qu'il faut tracer la figure complétée, comme la tienne !
As-tu essayé de ne poser que ta deuxième question ?

yoshi · 09-04-2024 18:29:16

B'soir,

Ah, jelobrueil !... Certes, assurément, ce n'est difficile ni pour toi, ni pour moi, ni pour Borassus, ni... etc.
Mais pour un élève lambda de 3e ?
Qui n'a - selon les les profs - jamais eu à répondre qu'à des questions à 1 pas ou maximum 2 (respect Instructions obligeait !!), par ex :
Soit un triangle isocèle ABC de base [BC]. On trace la perpendiculaire à [BC] passant par A et on appelle M son point d'intersection avec ce côté.
1. Que pouvez-vous dire des longueurs AB et AC ? (1 pas)
2. En déduire que (AM) est la médiatrice de [BC] (2 pas)

En 3e, sur ce petit exercice simplissime, tu ne devrais pas dépasser les 50 % de réussite...

Comment ne poser que la 2e question, alors qu'elle fait appel à la demi-droite [Ax définie dans la 1ere ?

Donc, non, je n'avais pas essayé (c'est du passé révolu) pas du présent : voilà bientôt 17 ans que je profite d'une retraite que j'ai l'insigne faiblesse de penser bien méritée et sans regrets devant ce que sont devenus les programmes de Collège (et les cheveux que se sont arrachés mes collègues de Lycée avant que, eux aussi, ils aient dû composer avec de nouveaux programmes. Je serais curieux de connaître la situation dans le Supérieur).

@+

Borassus · 09-04-2024 18:47:04

Très simple, je ne dirais pas.
En DM, oui. En contrôle, ce serait un peu vache.

La difficulté est qu'on a rapidement "les yeux qui se croisent". (J'avoue humblement que j'ai un peu patiné, justement parce que je n'arrivais pas à ajuster le regard — non, je ne souffre pas de strabisme — et le raisonnement ad hoc.)

Donc, je confirme ce qu'écrit Yoshi, l'exercice n'est pas vraiment à la portée immédiate de l'élève de 3ème lambda. (J'essaierai avec mon unique élève de 3ème quand elle abordera les angles inscrits. Elle est parmi les forts de sa classe, mais je ne pense pas qu'elle saura le résoudre seule.)

Il faut d'abord démontrer que $\widehat {EAF} = \widehat {GAH}$ à l'aide précisément des angles inscrits interceptant le même arc $\overset{\frown}{AB}$.

Ce qui permet ensuite de démontrer que $\widehat {EAG} = \widehat{FAH}$, d'où $\widehat {EAx} = \widehat {HAx}$, CQFD.

Borassus · 09-04-2024 18:52:38

Qui n'a - selon les les profs - jamais eu à répondre qu'à des questions à 1 pas ou maximum 2 (respect Instructions obligeait !!)

Ah bon ? La limitation du raisonnement à un coup fait partie des instructions ??

Je peste en permanence contre le fait que les élèves soient tenus à outrance par la main — « A force de vous tenir la main, on ne vous apprend pas à marcher. » — et, après avoir expliqué la logique de l'enchaînement des questions, je réécris les énoncés pour qu'ils ne comportent que la dernière question.

Borassus · 09-04-2024 18:57:40

Une prof très expérimentée m'avait dit que, vis-à-vis des élèves, il faut multiplier par au moins trois le temps qu'on passe pour résoudre un exercice. « Pour vous, l'exercice prend moins de cinq minutes. Comptez donc pour les élèves au moins un quart d'heure. »

Dernière modification par Borassus (09-04-2024 19:10:46)

jelobreuil · 09-04-2024 19:04:23

Bonsoir Yoshi,
Ah oui ! Alors, si l'on en est venu à ce niveau élémentaire de questionnement, ne nous étonnons plus de rien !
Ce sont purement et simplement des questions de cours, non ?
Effectivement, si un élève de troisième n'a eu à répondre qu'à ce genre de questions, je comprends que devant ton problème d'angles inscrits, il ne puisse que faire les yeux ronds et rester sec !! ...
Mais comment a-t-on pu ériger en dogme intangible qu'il ne faut pas mettre les enfants en situation de devoir réfléchir ?? C'est aberrant, tout simplement !!
Bien amicalement, JLB

Borassus · 09-04-2024 19:10:16

yoshi a écrit :

Comment ne poser que la 2e question, alors qu'elle fait appel à la demi-droite [Ax définie dans la 1ere ?

La première pourrait être incluse dans l'énoncé : « Soit $[Ax)$ la bissectrice de l'angle $\widehat {GAF}$. » D'où directement la question.

jelobreuil · 09-04-2024 19:34:09

Borassus, excuse-moi, mais je crois qu'il y a bien plus simple que ce que tu écris, pour démontrer que les angles EAG et FAH sont égaux, car on a la chaîne d'égalité d'angles EAG = EBG = FBH = FAH ...
Bien amicalement, JLB

Borassus · 09-04-2024 19:48:02

Effectivement, je n'avais pas vu les arcs $\overset{\frown}{EG}$ et $\overset{\frown}{FH}$.
Je ne voyais que les deux arcs $\overset{\frown}{AB}$.

(Les yeux qui se croisent...)

Bravo !

Preuve, s'il en est, qu'il faut prendre le temps de regarder avant de se lancer dans des calculs !
Cela permet d'économiser beaucoup de temps, et, pour les élèves en situation de contrôle ou de DST, d'économiser beaucoup de stress.
J'utiliserai cet exercice comme illustration de ce que je m'efforce de transmettre.

Dernière modification par Borassus (09-04-2024 19:53:40)

Borassus · 09-04-2024 20:00:45

Moi, je regardais du bas vers le haut, en partant de E et de G d'une part, de F et de H d'autre part.

Toi, tu as d'emblée regardé du haut vers le bas en partant de A.

Très important, en géométrie surtout, la perspective du regard !!

Borassus · 09-04-2024 20:26:46

Preuve, s'il en est, qu'il faut prendre le temps de regarder avant de se lancer dans des calculs !
Cela permet d'économiser beaucoup de temps, et, pour les élèves en situation de contrôle ou de DST, d'économiser beaucoup de stress.

J'énonçais cela de façon générale, sans disposer d'un exemple concret.

Maintenant, j'en ai un d'autant plus compréhensible pour l'élève que j'ai moi-même patiné pendant un temps non négligeable — de l'ordre d'un quart d'heure, en m'énervant — précisément parce que je n'ai pas pris le temps d'observer avant de me lancer dans un raisonnement.

Merci grandement, jelobreuil !!
Tu m'as sensiblement fait professionnellement avancer !!

yoshi · 09-04-2024 20:35:24

Re,

Le fait est que ce qui ressemble à de la Géométrie ne commence vraiment qu'en 4e, il ne faut pas perdre de vue que ma génération en mangeait sérieusement dès la 6e et que tout le monde n'entrait pas en 6e...
Je suis contre les Groupes de niveau, j'ai vu ce que ça avait donné sur une classe entière de 3e : il ne faut pas les prendre pour des aveugles, ils avaient été tout à fait capables de comparer leur niveau avec les autres classes : << Pourquoi on travaillerait ? On sait bien qu'on est les cons du Collège ! >> (sic). De plus, de vrais groupes de niveau ne peuvent coexister 1 année entière dans la même salle, et 2 profs : Où va-t-on les trouver (les salles libres et les profs ?).
J'ai fait ça - une fois durant un trimestre - contraint et forcé, suite à une erreur de jugement de ma part sur le contenu et le timing d'une interro en 3e, où sur 29 élèves j'avais 1 fois 19 et 1 fois 20, une petite partie (7 ou 8... c'est loi, hein...) entre 10 et 14, le reste entre 0 et 8...
J'avais bien dû assumer mon erreur, la reconnaître devant les intéressés et faire bosser les deux têtes (2 filles, au passage !) et avancer avec elles en même temps (comme dirait quelqu'un ;-D) que je redémarrais de 0 avec les autres... il avait fallu reprendre assez vite (sans trop) avec les uns et avancer le programme (pas trop vite et en ponctuant de quelques exercices d'approfondissement avec les 2 têtes) pour pouvoir raccrocher les wagons...
Bien sûr, tous étaient dans la même salle.
J'avais eu la chance de voir, dans le passé, fonctionner une classe unique allant de la Section enfantine au CM2 et aussi - durant une semaine de m'y coller : c'était de la haute voltige, l’œil rivé sur le chronomètre pour bien gérer les décrochages des changement de niveau...
Je ne crois pas que je me serais lancé en 3e sans cette petite expérience et je me serais retrouvé dans la mélasse.
Bah... c'est du passé n'en parlons plus (comme dit la chanson) !

Autre problème face aux théorèmes, définitions propriétés et autre réciproques, devant un exercice beaucoup, ressemblent à "des poules trouvant un couteau".
Beaucoup ne sont jamais entendu expliquer à quoi servait tout ça...
J'en avais fini par leur donner à l'impromptu des interros de leçon hors norme...
Exemple :
Je donnais deux cercles (hypothèses /conclusion) l'un à côté de l'autre, centre marqué, un diamètre tracé et un point sur les cercles.
Plus, dessin de droite, j'ajoutais un angle droit....
Je demandais simplement qu'on me donne l'énoncé du théorème correspondant et je demandais qu'on mette une barre verticale dans le texte à l'endroit où se terminaient les hypothèses (ou encore les données) et où donc commençait la conclusion...
Je leur précisais le pourquoi du procédé : savoir sa leçon ce n'est pas la réciter comme un perroquet, les perroquets n'ayant rien à faire en classe.

Certains (pas tous, pas ceux capables d'écrire : la nature du quadrilatère ABCD est un triangle... sic), finissaient par comprendre ce que Borassus a dit plus haut : ouvrir les yeux, repérer les figures élémentaires des théorèmes, définitions etc vus en cours. Et que c'est par là que tout commence... Ce n'était pas aussi évident que cela peut en avoir l'air!
C'est pourquoi le dessin (pourtant fourni) n'est pas aisé à décrypter pour un 3e lambda : beaucoup de traits et de points, deux cercles sécants... Beaucoup ne remarquaient même pas que le titre de l'exercice constituait une piste...

Autres exercices en 4e (en DM) déstabilisants

1. Construire en vraie grandeur le triangle rectangle RTS ci-dessus, en justifiant chaque étape de la construction, sachant que H est le pied de la hauteur relative au côté [RS] et I le milieu de celui-ci,TU = 4 cm et TI = 5 cm.
2. Calculer ensuite UI, RU, RT et TS (pour les deux dernières, donner les résultats arrondis à à 0,1 cm près.)

Et :

Trois barres de meccano ont été assemblées de façon rigide et une quatrième est mobile : les points noirs représentent les écrous de fixation.
Les 3 grandes barres comportent 14 trous, la petite barre en comporte 6. On va faire pivoter la grande barre mobile. Tous les trous sont régulièrement espacés.
1. Que pouvez-vous dire du montage des 3 barres fixes ?
2. En face de quel trou de la barre fixe [HC] le dernier trou E de cette barre mobile [AE] va-t-il venir se fixer ? (Réponse attendue : un n°)

Beaucoup ne voyaient pas le pourquoi de la question 1, la plupart des autres n'y auraient pas pensé tout seuls. De plus il y avait une vacherie finale...

Ces exos venaient en DM après la leçon sur Pythagore...

@+

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