Qui veut de la géométrie "à l'ancienne" ?

yoshi · 26-03-2024 16:27:20

Rebonjour,

DrStone... Tu veux de la Géométrie ? Yakademander.
Tiens, cadeau (j'espère que c'est ça dont tu veux parler en évoquant la Géométrie qu'on ne t'a pas apprise quand tu étais élève.)

Un triangle ABC, non rectangle, est inscrit dans un cercle de centre O. Soient H le point d'intersection des hauteurs du triangle du triangle, D le point diamétralement opposé à A sur le cercle et M le milieu de [BC].
1. Montrer que les triangles ABD et ACD sont des triangles rectangles.
2. Par le point D, on trace la perpendiculaire à (AH) : on obtient le point E. Montrer que le point E est sur le cercle.
3. Démontrer que BDCH est un parallélogramme (Pensez aux côtés parallèles).
4. Montrer que M est le milieu de [HD].
5. En déduire que (BC) est la médiatrice de [HE], puis que E est le symétrique de H dans la symétrie d'axe (BC).

Celui-là était déjà pas mal, mais le suivant Brevet des Collèges de Bordeaux (1992) n'a pas dû beaucoup les faire rire... Il était long, le dessin à compléter devenait assez riche et s'ils n'avaient pas l'habitude de le coder avec les infos obtenues au fur et à mesure, ils se retrouvaient vite largués. Je le trouve pas loin du niveau des anciens pb des Lebossé & Emery...

Bordeaux 1992
On considère un triangle ABC tel que BC = 8 cm et un point D de [AB] tel que $AD = \frac 1 3 AB$
La parallèle à (BC) passant par D coupe [AC] en E.
1. Calculer la valeur exacte de DE.
2. La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe (DE) en F. Comparer les angles $\widehat{DBF}$ et $\widehat{DFB}$. En déduire la nature du triangle BDF.
3. On appelle J le milieu de [BF], et L le symétrique de D par rapport à J. Quelle est la nature du quadrilatère BDFL ? Démontrer que L appartient à la droite (BC).
4. Le cercle de diamètre [BL] recoupe (AB) en K. Quelle est la nature des triangles BJL et BKL ?
5. Les droites (BJ) et (KL) se coupent en H. Montrer que les droites (DH) et (BL) sont perpendiculaires.

Satisfait (ou remboursé ?

@+

DrStone · 26-03-2024 17:45:07

Bonjour yoshi !

C'est en effet tout à fait cela que je recherche ! Je suis donc pleinement satisfait et te remercie chaudement pour ces sujets.

Je m'y essaie dès ce soir et te ferai un retour dès que je les aurais terminés. ^_^
Ce qui, je l'espère ne me prendra pas une semaine entière…! :=) bien que cela ne paraît pas improbable, en effet, la géométrie "classique" — à "l'ancienne" — semble bien plus difficile que les géométries affine et euclidienne fortement saupoudrées d'algèbre.

Dernière modification par DrStone (26-03-2024 17:45:42)

Borassus · 26-03-2024 19:55:24

yoshi, tu es sûr de la question 5 du deuxième exercice ?

yoshi · 26-03-2024 21:39:31

Re,

@Borassus
Si tu en est là, alors

▼Dessin complet

J'en ai même refait un à main levée en suivant l'énoncé pas à pas, avec F sur [DE] ...

Où y a-t-il un souci ?

@+

Borassus · 26-03-2024 21:45:45

Bonsoir yoshi,

J'ai dû me tromper en faisant la figure, car (DH) et (BL) n'étaient pas perpendiculaires.

DrStone · 27-03-2024 20:16:35

Bonsoir. ^_^

J'avance doucement mais sûrement. Il faut dire que yoshi ne me ménage pas !

Pour le premier exercice je suis arrivé à cette figure (j'ai passé plusieurs heures hier soir à me battre avec un outil que j'ai découvert pour l'occasion : tikz) qui est… une figure… je n'ai pas réussi à mieux faire… néanmoins, prenant en compte que c'est ma première, j'en suis plutôt satisfait !

▼Texte caché

Pour la première question, les points $A$ et $D$ étant diamétralement opposés, $D$ est un point du cercle de centre $O$.
Les triangles $(A,B,D)$ et $(A,C,D)$ sont donc inscrits dans le cercle. De plus, leurs hypoténuses, $(A,D)$, est diamètre du cercle de centre $O$ : ils sont donc rectangles respectivement en $B$ et en $C$.

Pour la deuxième question j'ai eu un mal de chien à montrer que $E$ est bien sur le cercle… mais je crois que j'ai compris !
$(A,H)$ et $(D,E)$ sont, par hypothèse, perpendiculaires. Donc le triangle $(A,E,D)$ est rectangle en $E$. Or, de même que dans la question précédente, tout triangle dont l'hypoténuse passe par le centre du cercle est inscrit dans ce dernier. $E$ appartient donc au cercle de centre $O$.

La troisième question est vraiment dure mais je pense que j'en suis arrivé à bout.
$H$ est l'orthocentre du triangle $(A,B,C)$. On a donc $(B,H)$ perpendiculaire à $(A,C)$. De plus, le triangle $(A,C,D)$ est rectangle en $C$, donc $(A,C)$ est perpendiculaire à $(C,D)$. D'où $(B,H)$ parallèle à $(C,D)$.
On trouve de même que $(C,H)$ est parallèle à $(B,D)$.
On en déduit donc que $(B,D,C,H)$ est un parallélogramme.

Voilà où j'en suis rendu pour le moment. Autant dire… pas loin. :=)

Dernière modification par DrStone (27-03-2024 20:58:17)

yoshi · 27-03-2024 23:09:48

RE,

Avant d'aller au lit...
Pourquoi toutes ces virgules ? Elles sont inutiles...

DrStone a écrit :

Les triangles (A,B,D) et (A,C,D) sont donc inscrits dans le cercle. De plus, leurs hypoténuses, (A,D),

2 remarques.
1.
La notion de triangle inscrit dans un cercle ne sert à rien. Tu pourrais à la limite évoquer un triangle inscrit dans un demi-cercle, mais cette notion ne figure plus dans les programmes, mais elle y a figuré quand j'étais Lycéen.
Maintenant il te suffit de dire :
Puisque le point B appartient au cercle de diamètre [AD], alors le triangle ABD est rectangle en B. (c'est un théorème de maintenant et il admet une réciproque : Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle)
2.
Une finesse qui t'a échappé (elle échappe aussi à des milliers d'élèves en France) :
Les triangles ABD et ACD sont donc inscrits dans le cercle. De plus
Ace stade tu n'as pas encore prouvé que ces ces triangles sont rectangles... Tu n'en sais donc rien. D'accord ?
Mais après, tu ajoutes : De plus, leur hypoténuse
Mais hypoténuse est un mot appartenant au vocabulaire associé au triangle... rectangle !
Tu vois où je veux en venir ?

@+

DrStone · 27-03-2024 23:48:05

Rebonsoir. ^_^

Pourquoi toutes ces virgules ? Elles sont inutiles...

Bah… disons que je n'y peux rien, c'est comme cela qu'on m'a appris les maths ! Je me doute que c'est inutile de ton point de vue ; mais je suis un pur produit de la mathématique moderne ! Et de fait, pour moi, une droite $(AB)$ c'est (pour ce qui nous intéresse ici) l'ensemble des points du plan passant par le couple de points $(A,B)$ ; une demi-droite $Ax$ où $A$ est un point sur la droite $xy$ c'est l'ensemble des points du plan ayant pour origine $A$ et pour direction $x$ : $[A,x)$
Un segment $[AB]$ sur une droite $xy$, c'est alors l'intersection des demi-droites (ensembles de points) $[A,x)$ et $[B,y)$ telles que $[A,B]=[A,x)\cap[B,y)$.
De même, un triangle $ABC$ c'est donc un triplet de points $(A,B,C)$ et un quadrilatère $ABCD$ c'est un quadruplet de points $(A,B,C,D)$.
Plus fou encore, deux droites/lignes $(A,B)$ et $(C,D)$ ne se coupent pas en un point $E$, mais… s'intersectent en le point $E$, et on m'a alors appris à noter $(A,B)\cap(C,D)=\{E\}$.
Bref, cette habitude de notation, je l'ai gardé toute ma scolarité étant donné que tous mes profs l'ont utilisée du début à la fin.
Les seules exceptions étaient alors les vecteurs qui étaient bien notés "usuellement" : $\mathbf{AB}$ ou $\vec{AB}$, sans doute car il n'était pas vraiment justifié de garder la notation en bipoint $(A,B)$ alors que les notations usuelles sont déjà une nomenclature différenciant et que les bipoints pouvaient amener à des erreurs d'interprétations.

Je vais devoir prendre sur moi afin d'essayer de ne pas me retrouver à écrire tout ceci. :=)

Puisque le point B appartient au cercle de diamètre [AD], alors le triangle ABD est rectangle en B. (c'est un théorème de maintenant et il admet une réciproque : Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle)

Ah oui ! On se permet des simplifications salvatrices ! Je retiens pour les futurs exercices.

Une finesse qui t'a échappé (elle échappe aussi à des milliers d'élèves en France) :
[…]
Ace stade tu n'as pas encore prouvé que ces ces triangles sont rectangles... Tu n'en sais donc rien. D'accord ?
Mais après, tu ajoutes : De plus, leur hypoténuse
Mais hypoténuse est un mot appartenant au vocabulaire associé au triangle... rectangle !
Tu vois où je veux en venir ?

Diantre ! Mais c'est que c'est vrai en plus ! On a dû me l'apprendre un jour, mais en effet, cette subtilité m'a échappée depuis belle lurette !
Soit, je vais donc essayer d'y retourner sans faire appel à l'hypoténuse !

Dernière modification par DrStone (28-03-2024 00:08:46)

yoshi · 28-03-2024 11:48:50

Bonjour,

Vite fait : j'ai encore des démarches à faire.
Depuis le 5 mars, où ma mère est décédée dans sa 98e année, je ne fais que ça. Chaque fois que je crois être arrivé au bout, je découvre d'autres urgences non prévues, non répertoriées....

Donc, pour te simplifier la tâche, voilà les notations officielles depuis plus de 25 ans :
(AB) droite passant par A et B
Plus en odeur de sainteté $xy$ pour une droite , $x$ et $y$ n'étant pas des points
_______________________________________
$x$ $y$

[AB] segment de droite compris entre A et B.
Demi-droite [AB) demi-droite d'origine A passant par B

Je ne crois pas avoir revu passer :

segment ouvert ]AB[
segment semi-ouvert [AB[ (à droite), ]AB] (à gauche).

AB longueur du segment
$\overrightarrow{AB}$ vecteur
La mesure algébrique $\overline{AB}$ a disparu des radars...
Triangle ABC, quadrilatère ABCD
Angle : $\widehat{ABC}$ (sommet B)
Plus en odeur de sainteté aussi $\widehat{xAy}$.
Il se peut que j'en oublie...
Je vais regarder où en est mon lexique de 24 pages (écrit au moment où mon logiciel de Traitement de textes ne permettait pas la flèche des vecteurs, le chapeau des angles, les fractions. Manque toujours la désignation des arcs de cercle). Il est assez exhaustif niveau Collège...

Si le plus gros des corrections est fait,
si les absences restantes ne te dérangent pas trop,
si tu en veux bien,
je peux te l'envoyer (en pdf).
Quand je le distribuais à mes classes, je corrigeais 24n pages à la main ($80 ex\leqslant n \leqslant 120 ex$)
Certains m'avaient dit s'en servir encore en 1ere...

@+

[EDIT] Vérification faite, avec le temps, j'avais corrigé pas mal de choses, le lexique est encore opérationnel.
L'éditeur d'équations de mon traitement de textes est maintenant relativement proche du Latex des forums de Maths, il va falloir que je le remette au goût du jour (enrichissement lorsque c'est possible, ajout de renvois (possiblement sous formes de liens). Il est loin d'être parfait !
Le plus long sera de refaire tous les dessins...

▼Voilà comment il se présente

DrStone · 28-03-2024 14:07:47

Bonjour yoshi.

Tout d'abord, je t’adresse toutes mes condoléances ; et j'espère que tu vas réussir à te sortir de ce bourbier d'urgences aussi imprévues qu'impromptues.

Ensuite, je te remercie pour ce petit cours de rappel sur les notations en places ! Beaucoup de choses sont assez différentes de ce à quoi j'ai eu droit…
Par exemple pour rester dans des notations qui sont probablement étranges pour la majorité : les angles de deux demi-droites $\Delta$ et $\Delta'$ étaient notés

$$\text{angle}\,(\Delta,\Delta').$$
Par extension, les angles de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ étaient notés
$$\text{angle}\,(\vec{u},\vec{v}).$$

Si le plus gros des corrections est fait,
si les absences restantes ne te dérangent pas trop,
si tu en veux bien,
je peux te l'envoyer (en pdf).

Cher yoshi, rien de tout ceci ne me dérange et je serais très honoré de recevoir ce lexique de ton cru qui, je n'en doute pas un instant, doit être, qu'importe ce que tu en dis, d'une très grande qualité. Après tout, tout le monde ne peut pas se targuer d'avoir écrit des fiches utilisées par des élèves tout le long de leur parcours scolaire !
En tout cas, la page que tu nous présentes me semble déjà très qualitative. Autant te dire que j'ai bien envie de recevoir le reste ; aussi imparfait soit-il ! ^_^

Dernière modification par DrStone (28-03-2024 20:09:27)

jelobreuil · 28-03-2024 20:19:52

Bonsoir Yoshi,
Ce message n'a pas d'autre but que de t'adresser mes sincères condoléances ...
Bien amicalement, JLB

yoshi · 28-03-2024 22:03:51

Re,

@Tous ceux qui m'ont adressé leurs condoléances : un grand merci...

@+

yoshi · 29-03-2024 09:26:12

Bojourn,

@DrStone
Envoi effectué hier soir à l'adresse mail que tu as fournie à ton inscription ici.
Certaines messageries, très zélées refusent les messages en provenance du site no-log.org...
Ce site n'est pas particulièrement rapide, mais si d'ici 36 h, tu n'as rien reçu; fais-le moi savoir, j'aviserais...

@+

DrStone · 29-03-2024 13:57:51

Bonjour yoshi.

C'est tout bon ! Il faut dire que je n'en attendais pas moins de mon fournisseur de messagerie. ^_^
Je m'en irais donc me délecter de ces 24 pages dès ce soir !

yoshi · 29-03-2024 20:41:16

RE,

DrStone a écrit :

Je m'en irais donc me délecter de ces 24 pages dès ce soir !

Hé... C'est pas un roman policier...

Tiens, à ne pas lire avant d'aller te coucher
Le Geometricon
Aucun de ceux à qui j'ai donné ne l'a pris au sérieux : ils ont pourtant fini par déchanter...

La troisième question est vraiment dure mais je pense que j'en suis arrivé à bout.

Si tu l'as trouvée dure, alors petite séance de canyoning (ma méthode).

4 .. 3 .. 2 .. 1 .. 0. Go !
Donc, la question était : Montrer que le quadrilatère BDCH est un parallélogramme.
J'en fais mon "embouchure"...

Bon, c'est quoi un parallélogramme ?
Le lexique :
Si un quadrilatère a ses 4 côtés parallèles alors c'est parallélogramme
Si un quadrilatère (non-croisé) a 2 côtés parallèles et de même longueur c'est parallélogramme.
Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors c'est parallélogramme.

--> Voyons voir, même milieu (M) ?
L'énoncé me donne M milieu de [BC]... Bon, pour une !
Resterait M milieu de [HD]...
Ni L'énoncé, ni les questions précédentes ne ma donnent d'indications de longueur... Ce doit être une fausse piste. D'autant que la question
est agrémentée d'un conseil. Suivons-le...
--> Bon alors quid de ces parallèles ?
Relecture de l'énoncé : j'ai beaucoup de perpendiculaires qui ne disent par leur nom : triangles rectangles et hauteurs..Je vais bien
trouver 1 ou 2 paires de parallèles..

Les paires de côtés sont [CD] et [BH], [CH] et [BD].
Pourquoi aurait-on (CH) //(BD) ?
Elles dont toutes deux perpendiculaires à la même droite (AB).
Pourquoi ?
$(CH) \perp (AB)$ (1) Pourquoi ? Puisque, par hypothèse, (CH) est la hauteur relative au côté [AB] du triangle ABC.
$(DB)) \perp (AB)$ (2) Pourquoi ? Puisque, par démonstration, . on sait que le triangle ABD est rectangle en B, [BD] et [AB]
sont les 2 côtés de l'angle droit.

Et quid de (BH)//(DC) ?
C'est le même raisonnement :
(BH) est la hauteur relative à [AC] (énoncé) : $(BH) \perp (AC)$
Et [DC] et [AC] ? --> côtés de l'angle du triangle ACD rectangle en C (question précédente).
----------------------------------------------------------------------------------------------------
J'ai trouvé la réponse à mes pourquoi, je ne peux pas remonter plus haut.
La mise en forme consistera à repartir de la dernière ligne jusqu'à remplacer la question par une affirmation...

Pourquoi donc as-tu trouvé dure cette question ?

@+

yoshi · 30-03-2024 12:25:59

Bonjour

- suite de la présentation de ma méthode "Remonter le courant pour mieux le descendre ensuite"-

Théorème : Si un point A appartient à un cercle de diamètre [BC], alors le triangle BAC est un triangle rectangle en A.

Démo classique.

| Cercle de centre O et [BC] diamètre
Hypothèses <|
| A est sur le cercle

|
Conclusion <| $\hat A = 90°$

Plaçons D diamétralement opposé à A sur le cercle et montrons que le quadrilatère ABDC est un rectangle : on en déduira alors que
$\hat A = 90°$
Par hypothèse, [BC] est un diamètre du cercle, ainsi que [AD] par construction.
O centre de ce cercle est donc le milieu commun de [BC] et [AD].
Or, [BC] et [AD], sont aussi les diagonales du quadrilatère ABDC.
En conséquence, le quadilatère ABDC, dont les diagonales [BC] et [AD] ont le même milieu est un parallélogramme.
Mais ces diagonales [BC] et [AD] étant des diamètres, elles ont donc de même longueur.

Le parallélogramme ABDC, dont les diagonales ont la même longueur est donc en fait un rectangle.
Ses 4 angles et en particulier l'angle $\hat A$ sont donc des angles droits.

En discutant avec Blubber, je m'étais demandé si on pouvait se passer du point D (curieusement en 38 ans de carrière, que cela pût être possible ne m'avait jamais même effleuré l'esprit et je ne m'étais donc encore jamais posé la question !!! )
Et j'avais essayé avec ma méthode de recherche pour voir.

Voici ce que ça a donné.
1. Séance de Brainstorming

La conclusion attendue est :
$\hat A=90°$
Pourquoi 90°?
$\hat A=180°/2$
Pourquoi 180° ?
$\hat A +\hat B + \hat C =180°$ (Propriété 6e)
Pourquoi $/2$ ?
$\hat A = \hat B +\hat C$
Pourquoi ?
$\widehat {OAB}=\hat B$ et $\widehat {OAC}=\hat C$
Pourquoi ?
tr OAB et tr OAC isocèles en O
Pourquoi ?
-->Je ne peux pas utiliser les angles, c'est la conclusion d'isocèles...
--> Les côtés ?...
OA = OB et OA = OC
Pourquoi ?
O est le centre du cercle et le milieu du diamètre [BC] et O étant le milieu de [BC] et B, O,C alignés alors OB = OA = OC = BC/2

2. Me retrouvant à court de "pourquoi" et donc arrivé aux hypothèses, je n'ai plus qu'à redescendre le courant et "mette au propre'...

Par hypothèse, B, A et C sont sur le cercle de centre O et [BC] est un diamètre
J'ai donc d'une part OB = OA = rayon et OC = OA = rayon
Le triangle BOA qui a 2 côtés [BA] et [BO] de même longueur est donc isocèle de sommet O
Donc, $\widehat{OAB}et $\hat B$, comme angles à la base de ce triangle isocèle sont égaux :
$\widehat{OAB} =\hat B$ (1)
On montrerait de même que le triangle OAC est isocèle de sommet A et que :
$\widehat{OAC} =\hat C$ (2)
O étant le milieu de [BC], la demi-droite[AO) est à l'intérieur ⁽*⁾ de l'angle $\hat A$
Alors :
$\hat A = \widehat{OAB}+ \widehat{OAC}$ (3)
On remplace dans cette égalité $\widehat{OAB}$ par $\hat{B}$ d'après (1) et $\widehat{OAC}$ par $\hat{C}$ d'après (2)
L'égalité (3) devient :
$\hat A = \widehat{OAB}+ \widehat{OAC}=\hat B + \hat C$ (4)
O,r on sait que dans le triangle ABC : $\hat A+\hat B + \hat C=180°$
Grâce à l'égalité (4), on peut donc remplacer $\hat B + \hat C$ par $\hat A $
$\hat A+\hat A=180°$
$2\hat A=180°$
$\hat A=90°$
QED...
(Quod Erat Demonstrantum ou CQFD en français)

⁽*⁾ Commentaire d'après relecture :
N-B stricto sensu, au lieu d'angle, ne faudrait-il pas plutôt parler de secteur angulaire $([OB),[OC))$ que d'angle ?

Je pense que mon procédé doit être plus clair maintenant.
Je répète que je n'ai appliqué ma méthode à la démo (qui est plus longue que la classique) du théorème qu'en mai 2023.
La démo classique est plus ramassée et donc plus facile à retenir.
J'avais simplement voulu me passer du point supplémentaire D et voir si avec ma méthode je pouvais y arriver. J'avais pu faire la preuve que oui...

@+

DrStone · 30-03-2024 12:54:23

Bonjour yoshi.

Je vois que tu m'as répondu en même temps que j'écrivais ce message, du coup je vais répondre aux deux.

Je pense que mon procédé doit être plus clair maintenant.

Déjà je te remercie de prendre le temps de me montrer par l'exemple ta méthode de résolution. Elle me parait en effet beaucoup plus claire et de fait, je la trouve très intéressante ! L'idée de jouer à Sherlock Holmes en cherchant tout ce qu'on sait et tout ce qu'on peut retirer de ce qu'on sait durant la «séance de brainstorming» afin de remonter de fil en aiguille est séduisante. Il me semble que la lourdeur ainsi que temps pris par celle-ci sont très vite rentabilisés du fait qu'on passe moins de temps à chercher en vain : surtout que j'imagine que comme pour tout, à force de l'utiliser ça devient naturel et ça prend de moins en moins de temps.

Dès lors, je vais donc commencer à ne plus qu'utiliser cette méthode, en commençant par tes petits exercices ! ^_^
Je vais essayer dès ce soir et les autres soir du weekend, je te tiens au courant de mon avancement lundi ! (parce qu'il faut que je gère le petit-fils en même temps, et c'est un travail monstrueux !)

Pourquoi donc as-tu trouvé dure cette question ?

Je l'ai trouvé dure pour deux raisons : la première c'est que ça me demande d'utiliser des notions et définitions d'objets que je n'ai pas utilisé depuis plus de 40 ans et surtout car il me semble que c'est la première des trois qui demande de réfléchir sur des affirmations qui sont "cachées" dans le sens où ce n'est aucunement explicité : il faut se rendre compte par soi-même en étudiant bien la figure (qui a intérêt à bien être réalisée… heureusement que j'ai décidé d'apprendre à utiliser TikZ du coup :=) tout est parfaitement réalisé avec cet outil !) et surtout en décortiquant bien l'énoncé jusque dans le moindre détail pour être certain de ne pas avoir loupé un détail ! Je n'ai pas fait ça depuis maths spé ! Mais surtout, je n'ai jamais fait ça en géométrie qui semble, de mon point de vue, contenir beaucoup d'implicites… oserais-je aller jusqu'à dire qu'il y en a plus qu'en algèbre ? Peut-être bien !

La démo classique est plus ramassée et donc plus facile à retenir.

Je l'avais écrit il y a quelques jours : réaliser les démonstrations les plus courtes possible est une idée qui est toujours séduisante et je l'ai fait durant mes années prépa. Néanmoins, encore une fois, je m'en suis détaché d'année en année pour trois raisons : la première étant que ça demande de maitriser un petit sous ensemble de notions sur le bout des ongles ; ce qui n'est pas un mal en soi mais prend de la place de cerveau disponible pour d'autres notions. La deuxième étant que si tu reviens plus tard et que tu as oublié un point important, tu n'es plus forcément en mesure de suivre la démonstration. La troisième, selon moi la plus importante, étant en concours de la première, que tu n'apprends plus rien : typiquement, cette idée de se passer de $D$ ne peut pas t’effleurer l'esprit quand tu sais que tu détiens déjà la démonstration la plus "cool", la plus "mieux" et surtout la plus "courte". Là ça va, il s'agit de se passer d'un point; mais dans ma carrière, ayant connu l'intégrale de Lebesgue au cours de mes études, juste après la prépa, je n'ai pas cherché plus loin… c'était élégant et court : tout ce qui me plaisait dans les mathématiques de l'époque. Pourtant, quelques années (une dizaine à vue de nez) j'ai découvert l'intégrale de Kurzweil-Henstock qui était bien mieux dans 95% des cas que celles que je connaissais jusqu'alors : l'intégrale de Riemann (qu'on m'a enseignée en Terminale ainsi qu'en prépa) et l'intégrale de Lebesgue, donc.
C'est ce jour-là, où j'ai découvert qu'on peut apprendre des choses toujours plus efficaces même si ce n'est pas optimal, que j'ai décidé de façon certaine de radicalement changer mon approche des mathématiques pour moi-même. ^_^

Dernière modification par DrStone (30-03-2024 15:05:34)

yoshi · 30-03-2024 13:54:25

Re,

Merci pour ta réponse.
Quid du lexique ? T'as pris le temps de dormir, j'espère...
En un raccourci (saisissant ?), j'ai toujours pensé que l'Algèbre était très calculatoire et demandait de mettre en œuvre un certain nombre (relativement limité) de techniques de base.
Par contre, la "Géométrie à l'ancienne" pour moi est intrinsèquement plus compliquée à maîtriser.
Je suis d'accord avec la notion de données "implicites", c'est ce que j'ai évoqué dans mon post en disant qu'il y avait tellement de perpendiculaires "cachées" dans la question 3 que ce serait bien le diable si je n'arrivais pas à en tirer 2 paires de parallèles.
Ce faisant, cette remarque simplifie les recherches.

Le problème avec la géométrie, c'est qu'elle demande une connaissance quasi "encyclopédique" des définitions, théorèmes et leurs réciproques, propriétés, donc de les savoir par cœur (si tu peux te débrouiller pour les savoir par cœur, sans jamais les apprendre par cœur, c'est mieux et plus "facile". Personnellement, Lycée, je m'y étais toujours refusé)...
Prenons la notion de perpendiculaire (et je me limite au Collège)
Considère qu'elle trimbale avec elle beaucoup de bagages dans une valise voire une remorque derrière elle.

Exemple
perpendiculaire est inséparable de parallèle.
Dès la 6e, on voit que deux perpendiculaires à la même droite sont parallèles entre elles. (La seule preuve que j'ai pu en apporter est en utilisant un raisonnement par l'absurde et en obtenant une contradiction avec l'axiome d'Euclide).
Mais il y aussi :
si 2 droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre
si 2 droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre
si 2 droites sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

En fouillant la remorque on constate que la notion de perpendiculaire renvoie
- à la notion de hauteur qui renvoie à orthocentre et donc à la concourance des 3 hauteurs d'un triangle
- mais aussi à la notion de bissectrice d'un angle via le théorème : Tout point d'une bissectrice est équidistant des côtés de l'angle et sa
réciproque...
* mais équidistance renvoie à la notion de distance d'un point à une droite.
- ou encore à la médiatrice d'un segment et tout ce qui gravite autour...

Et ceci est vrai de n'importe quelle notion. Comprends-tu ce que j'ai voulu dire avec :

Prenons la notion de perpendiculaire (et je limite au Collège)
Considère qu'elle trimbale avec elle beaucoup de bagages dans une valise voire une remorque derrière elle

Bon je m'arrête là, mais en cherchant un peu, je pourrais en remplir une page sans la certitude absolue d'avoir fini... et on pourrait faire la même chose de toute autre notion...Quand, en conseil de classe de 3e, on demandait au prof ce qu'il pensait de l'avenir mathématique de tel ou tel élève, comme il avait dû avaler les 2 pbs de Géométrie sur lesquels tu as bien voulu t'escrimer, ces problèmes me permettaient de donner une autre réponse que d'essayer de noyer le poisson, tout en restant pondéré dans mon jugement : intelligence $\neq$ savoir-faire...

La géométrie c'était mon "juge de paix" !

@+

Borassus · 30-03-2024 15:58:06

Bonjour yoshi et Doc, bonjour tout le monde,

J'abonde tout à fait dans ce que tu écris, yoshi !

Ce que j'apprécie dans un raisonnement de géométrie, c'est la "stratégie" de raisonnement et l'enchaînement des déductions.
D'un point de vue rédactionnel, le raisonnement de géométrie est à mon sens celui qui permet le mieux de s'entraîner à des argumentations élaborées.

Bonne seconde partie de journée.
Bien cordialement.

yoshi · 30-03-2024 18:19:37

RE,

Merci Borassus...
L'idée m'est venue après avoir constaté, année après année que si moi la méthode classique ne me dérangeait pas plus que ça ("dressage" de 6e à 1ere obligeant), mes élèves - pour la plupart d'entre eux - face à un problème de Géométrie un peu élaboré, se retrouvaient aussi démunis qu'une poule "face à un couteau"... J'avais l'impression de voir des points d'interrogation pousser au milieu de leurs cheveux : ils savaient où aller mais n'avaient aucune idée de ce par quoi commencer. Et ça, ça me dérangeait tellement, que j'en étais obligé de jouer au "Petit Poucet" et parsemer mes propres créations de questions intermédiaires à "1 pas" pour suivre les instructions officielles...
Et ça, ça me dérangeait autant... Parce que là, ipso facto, je prenais les meilleurs d'entre eux pour des "minus habens".
Mais appliquer la méthode à une classe n'était pas possible ("foutoir" rapide...) et je n'ai jamais osé...
Elle n'est applicable qu'avec un petit nombre d'élèves à la fois (3 max).
Je ne sais plus quand l'idée m'est venue, peut-être mon inconscient m'a-t-il suggéré de m'inspirer d'une facette du jeu d'échecs qui a nom "Analyse rétrograde".
Il s'agit là, face à une position artificielle (et non issue d'une partie) de rechercher quel est le (ou les) dernier(s) coup(s) joué(s) aboutissant à ladite position.
cf https://ecole.apprendre-les-echecs.com/ … etrograde/ mais c'est quand même difficile à suivre parce que nécessitant si on n'a pas jeu et échiquier sous la main, de se représenter les déplacements mentalement...

L'avantage de ma méthode, c'est qu'elle est une forme de jeu de piste avec des pourquoi incessants.
Les grosses difficultés ?
1. Se poser LA bonne question au départ
2. En cours de route
- se rendre compte qu'on est dans une impasse (rien ne permet de poursuivre)
- pouvoir réaliser qu'on prend ses désirs pour une réalité, par ex vouloir montrer qu'un triangle est isocèle en utilisant des angles à la base égaux sans s'apercevoir que n'est possible qu'en tenant inconsciemment acquis le triangle comme isocèle (manque d'esprit critique)...
Ça aussi peut être considéré comme un acquis potentiel du jeu d'échecs en tant que tel.

Personne n'a jamais vu cette façon de faire ?

Le problème du prof est qu'il est confronté de temps en temps à la visite d'un IPR (Inspecteur Pédagogique Régional) et qu'ils ne sont (en tous cas : n'étaient pas pas tous) ouverts à la nouveauté, à l'atypisme (encore un néologisme ?), qu'il vous note (pour 2 à 10 ans) que cette note conditionne votre vitesse d'avancement, donc la vitesse à la laquelle vous montez d'échelon, et de salaire...

Le premier Inspecteur que j'ai rencontré m'avait dit désignant le tableau :
<< Vous écrivez mal, il va falloir faire un effort !">>
J'avais levé les bas au ciel...
Réplique immédiate :
<< Si vous ne voulez pas faire un effort, alors il faudra changer de métier ! >>

Le même, 2 mois plus tard à une collègue :
<< Vous êtes devant le tableau pendant que vous écrivez; ça gêne vos élèves ! >>
Ça s'était propagé dans le dpt, et on en avait durablement fait des gorges chaudes
Là, c'était vraiment un cas d'espèce, un "cas" très particulier....

Un IDEN (Inspecteur Départemental de l'Education Nationale), au temps des Maths Modernes, spécialisé en Mathématiques, avait inspecté un collègue proche de la retraite et avait écrit sur son rapport d'inspection que la soustraction possédait un élément neutre (!)...
Le copain en question en avait beaucoup ri (nous aussi) et n'avait pas donné de suite à cette affirmation...
Mais si un prof consciencieux, à la personnalité pas assez affirmée se sent insécurisé et reste strictement dans les clous, il a parfois quelques raisons objectives (ou pas)...

@+

DrStone · 02-04-2024 23:20:19

Bonsoir yoshi. ^_^

Les derniers jours étaient éprouvant et je n’ai malheureusement pas eu assez de temps de te répondre convenablement. Néanmoins cela devrait maintenant être bon. Je répondrai donc à tes messages demain et j’en profiterai aussi pour donner mes réponses aux exercices !

PS. Je me suis pas mal servi, pour ces derniers, de ton lexique qui est une vraie mine d’or ! Merci encore pour celui-ci.

yoshi · 03-04-2024 18:52:32

Bonsoir;

DrStone a écrit :

Je me suis pas mal servi, pour ces derniers, de ton lexique qui est une vraie mine d’or !

Tant que ça ? Même pour quelqu'un comme toi ?
N-B : il y a parfois un astérisque à côté du nom de certaines notions... C'était pour signaler des notions hors-programme et ce à la demande d'un Inspecteur à qui j'avais montré ce lexique.
j'avais eu aussi droit à une remarque : je présentais le vecteur au moyen de deux définitions différentes, sinon RAS...
L'entrée Volume a volontairement droit à un développement succinct avec un renvoi vers les Aires, comme je le résumais en classe :
* les Aires --> 2 catégories
- l'enquiquineur de service : le disque (savoir par coeur)
- les autres : je montrais que si on connaît la formule de l'aire du rectangle, on retrouve à partir de celle-ci, toutes
les autres aires standards (triangles compris), même celle du Trapèze (mais là c'est peu plus "sioux")
* Les Volumes --> 3 catégories
- le correspondant des Aires : la boule : $\frac 4 3\times \pi R^3$
- les solides pointus (cône et pyramide) $\frac 1 3\times \text{aire de base}\times \text{hauteur}$
- les autres : $\text{aire de base}\times \text{hauteur}$

@+

Borassus · 03-04-2024 21:03:55

Bonsoir yoshi,

Je serais moi aussi intéressé par ta création.
Tu pourras me l'adresser ?

Je t'en remercie d'avance.
Bien cordialement,
Bor.

DrStone · 03-04-2024 22:54:06

Bonsoir.

Finalement je crois que je me suis emporté. En effet, je n’ai même pas écris la moitié de ce que je voulais écrire initialement… il faut dire que les longs messages de yoshi sont propices à de longues réponses !
Ainsi donc, je repousse à demain la publication de ma réponse. J’essaierai par la même de la raccourcir ; histoire d’éviter qu’il n’y ait que d’immenses pavés tout au long de cette discussion. :=)

yoshi · 04-04-2024 09:10:00

Bonjour,

@Borassus.
Fchier expédié par mél hier soir

@+

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#1 26-03-2024 16:27:20

Qui veut de la géométrie "à l'ancienne" ?

#2 26-03-2024 17:45:07

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#3 26-03-2024 19:55:24

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#4 26-03-2024 21:39:31

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#5 26-03-2024 21:45:45

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#7 27-03-2024 23:09:48

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#8 27-03-2024 23:48:05

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#9 28-03-2024 11:48:50

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#11 28-03-2024 20:19:52

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#12 28-03-2024 22:03:51

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- suite de la présentation de ma méthode "Remonter le courant pour mieux le descendre ensuite"-

#17 30-03-2024 12:54:23

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#18 30-03-2024 13:54:25

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