Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

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Re : Niveau en maths France vs USA

On peut aussi ajouter la divisibilité par 7 avec : n⁷ -54 n⁵ + 249 n³ - 196 n ... qu'en pensez-vous ?

Certes, le polynôme se factorise en $(n - 7)(n - 2)(n - 1)n(n +1)(n + 2)(n+ 7)$. Il est donc divisible par 2, par 3, par 4, par 5.

Mais je ne vois pas pour l'instant comment déterminer la ou les conditions pour lequel il est divisible par 7.

Merci de me donner une piste.

Je profite aussi de mon message précédent pour relancer cette question.  :-)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
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Bernard-maths

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Re : Niveau en maths France vs USA

Ah, c'est subtil ... ?

Etudis les cas : n terminé par 1, n terminé par 2, ... que font les différents facteurs ?

B-m

PS : à moins que je me sois planté ?

J'ai oublié mon raisonnement !

Dernière modification par Bernard-maths (07-03-2024 12:05:41)

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Borassus

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Re : Niveau en maths France vs USA

Il y a plusieurs critères de divisibilité par 7 : https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_ … ilit%C3%A9

A quel critère pensais-tu ?

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Borassus

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Re : Niveau en maths France vs USA

La programmation de la suite sur ma calculatrice Numworks montre que les valeurs de $n$ pour lesquelles l'expression est visiblement divisible par 7 sont :
n = 5 ; n = 6 ; n= 8 ; n = 9 ; n = 11 ; n = 12 ; n = 13
(Au-delà, je ne sais pas car la calculatrice affiche $\dfrac {u_n} 7$ en notation scientifique.)

Pour $n = 10$, l'expression n'est pas divisible par 7.

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yoshi

Modo Ferox

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Re : Niveau en maths France vs USA

Bonsoir,

Pour faire bonne mesure et éclairer Borassus, sauf erreur de programmation, Python me donne :
5, 6, 8, 9, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 26, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 37, 40, 41, 43, 44, 47, 48, 50, 51, 54, 55, 57, 58, 61, 62, 64, 65, 68, 69, 71, 72, 75, 76, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 93, 96, 97, 99, 100...

J'ai vu que je n'avais pas 11 dans ma liste, alors j'ai vérifié :

$f=11^7 -54\times 11^5 + 249 \times 11^3 - 196 \times 11 = 11119680$
et $f/7\approx 1588525.7142857143$
f n'est pas multiple de 7 :
$11119680=1588525\times 7 +5$

@+

[EDIT] Bien sûr, j'ai exclu les n multiples de 7 de mes tests...

Dernière modification par yoshi (07-03-2024 21:45:09)

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Borassus

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Re : Niveau en maths France vs USA

Bonsoir yoshi (et tous ceux présents),

Merci pour ce calcul des  n ad hoc.

Effectivement, la calculatrice n'affiche pas les décimales pour n = 11.

Maintenant, il s'agit de définir le(s) critère(s) pour que l'expression soit divisible par 7.

Ou, plutôt, apparemment, les critères pour que l'expression ne soit pas divisible par 7, ce qui est le cas pour
n= 10 et n = 11,
n=17 et n = 18,
n = 24 et n = 25,
n = 31 et n= 32,
n= 38 et n = 39,
etc

A chaque fois, il s'agit de deux entiers consécutifs en partant de 10, l'écart entre le premier entier d'une paire avec le premier entier de la paire suivante étant de sept : 10 + 7 = 17 ; 17 + 7 = 24 ; 24 + 7 = 31 ; 31 + 7 = 38 ; 38 + 7 = 45 ; etc.

Mais, pour l'instant, je ne sais que remarquer cette particularité, mais ne saurai absolument pas l'expliquer.

PS : Ne trouvez-vous pas que la discussion a, du fait de ma première intervention, sensiblement dévié par rapport à son titre initial ?  :-)

PPSS : Pourquoi la discussion a-t-elle été épinglée ? Sur le coup je ne la trouvais plus, et ne l'ai vue en première ligne qu'au bout d'un moment.

Dernière modification par Borassus (08-03-2024 08:07:20)

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Borassus

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Re : Niveau en maths France vs USA

Bonjour,

On peut condenser ce que j'ai écrit dans mon précédent post par :
Les expressions n'étant pas divisibles par 7 sont celles pour lesquelles $n = 7k - 4$   et   $n = 7k - 3$  , avec $k \ge 2$

Les expressions divisibles par 7 sont donc celles pour lesquelles $n$ est égal à $7k$ , $7k - 1$ ,  $7k - 2$ , $7k - 5$ et $7k - 6$

Quant à le démontrer...   

Bonne et fructueuse journée.
B.

Dernière modification par Borassus (08-03-2024 08:08:16)

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Roro

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Re : Niveau en maths France vs USA

Bonjour,

Soit $u_n=(n-7)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+7)$.

Si on l'écrit modulo 7, on a $u_n\equiv n^3(n-2)(n-1)(n+1)(n+2) \, [\mathrm{mod}\, 7]$. Puisque $7$ est un nombre premier, on a alors $u_n\equiv 0 \, [\mathrm{mod}\, 7]$ si et seulement si
$$n\equiv 0 \, [\mathrm{mod}\, 7] \quad \text{ou} \quad n\equiv 2 \, [\mathrm{mod}\, 7] \quad \text{ou} \quad n\equiv 1 \, [\mathrm{mod}\, 7] \quad \text{ou} \quad n\equiv -1 \, [\mathrm{mod}\, 7]  \quad \text{ou} \quad n\equiv -2 \, [\mathrm{mod}\, 7],$$
ce qui revient à dire $n$ est égal à $7k$, $7k-5$, $7k-6$, $7k-1$ ou $7k-2$.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-03-2024 08:24:25)

Borassus

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Re : Niveau en maths France vs USA

Bonjour Roro,

Merci de cette démonstration, que je dois savoir refaire de façon à pouvoir bien l'expliquer.

Juste avant de la découvrir, je me suis dit que cette divisibilité doit sûrement se résoudre par l'arithmétique modulaire, vis à vis de laquelle je me suis toujours senti mal à l'aise, notamment avec mes élèves de Spé Maths — devenue Maths expertes.

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