Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Greg05

Membre

Inscription : 01-03-2024

Messages : 2

Applications linéaires en dimension finie

Bonsoir,

Je souhaiterai de l'aide sur un exercice d'algèbre linéaire dont voici l'énoncé :

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et u, v ∈ L (E).
On suppose que u ◦ v = 0 et u + v est un automorphisme.

1. Démontrer que  Im(v) ⊂ Ker(u).
2. Démontrer que  Im(u + v) ⊂ Im(u) + Im(v).
3. Démontrer que  n ≤ rg(u) + rg(v) − dim(Im(u)∩Im(v))
4. Prouver finalement que  rg(u)+rg(v) = n.

[Je me permets de rappeler que rg(u) = dim(Im(u))]

J'ai déjà répondu aux questions 1 et 2 ; quoique pour la question 2 je me demande si l'on peut affirmer, en sachant que u+v est linéaire, que
∀ x ∈ E, (u+v)(x)= u(x) + v(x)

Pour la question 3 je pense qu'on peut utiliser la formule de Grassmann mais je ne vois pas comment l'appliquer au problème
Pour la question 4 je ne vois pas comment les questions précédentes peuvent nous aider...

Voila globalement où j'en suis

Merci d'avance de votre aide

Dernière modification par Greg05 (02-03-2024 15:14:40)

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 230

Re : Applications linéaires en dimension finie

Bonsoir
Pour la 2, l'égalité que tu as écrite est la définition de la somme de deux applications.
Pour la 3, tu peux modifier le membre de droite en utilisant la formule de Grassmann, puis appliquer la question 2 en utilisant le fait que $u+v$ est un automorphisme.

Dernière modification par DeGeer (01-03-2024 19:41:03)

Greg05

Membre

Inscription : 01-03-2024

Messages : 2

Re : Applications linéaires en dimension finie

Merci beaucoup !