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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Greg05
- 02-03-2024 15:18:32
Merci beaucoup !
- DeGeer
- 01-03-2024 19:36:52
Bonsoir
Pour la 2, l'égalité que tu as écrite est la définition de la somme de deux applications.
Pour la 3, tu peux modifier le membre de droite en utilisant la formule de Grassmann, puis appliquer la question 2 en utilisant le fait que $u+v$ est un automorphisme.
- Greg05
- 01-03-2024 18:43:56
Bonsoir,
Je souhaiterai de l'aide sur un exercice d'algèbre linéaire dont voici l'énoncé :
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et u, v ∈ L (E).
On suppose que u ◦ v = 0 et u + v est un automorphisme.
1. Démontrer que Im(v) ⊂ Ker(u).
2. Démontrer que Im(u + v) ⊂ Im(u) + Im(v).
3. Démontrer que n ≤ rg(u) + rg(v) − dim(Im(u)∩Im(v))
4. Prouver finalement que rg(u)+rg(v) = n.
[Je me permets de rappeler que rg(u) = dim(Im(u))]
J'ai déjà répondu aux questions 1 et 2 ; quoique pour la question 2 je me demande si l'on peut affirmer, en sachant que u+v est linéaire, que
∀ x ∈ E, (u+v)(x)= u(x) + v(x)
Pour la question 3 je pense qu'on peut utiliser la formule de Grassmann mais je ne vois pas comment l'appliquer au problème
Pour la question 4 je ne vois pas comment les questions précédentes peuvent nous aider...
Voila globalement où j'en suis
Merci d'avance de votre aide