Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

exo min local de R^2

Bonjour

S'il vous plait , voici ma fonction f(x,y)=xexp(y)+yexp(x) , cette fonction admet-elle un minimum local sur R^2 ?

j'ai trouvé comme point critique (x,1/x)
mais je n'ai pas aboutit à un résultat concernant un min local ..
en effet , j'ai essayé de voir avec le det hf et sa trace qu'il doivent être strictement positifs
et j'ai encore considéré f(x,1/x):=g(x) est d'étudier sa dérivé que j'ai constaté qu'elle s'annulle en x=1 je pense
la question demande juste un min local , si je dois aller voir g" en 1 est qu'elle soit strict positif là (1,1) serait un min global unique je pense puisque g serait donc strictement convexe ?

pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

Merci bien

Dernière modification par tilda (22-01-2024 15:48:42)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : exo min local de R^2

Bonjour,

Il faut que tu refasses ta recherche de point critique... il n'y en a qu'un seul : le point $(-1,-1)$.

En fait, j'ai l'impression que tu as uniquement cherché des conditions nécessaires pour être un point critique. Mais parmi tous les points du plan de la forme $(x,\frac{1}{x})$, un seul est critique pour ta fonction $f$.

Ensuite, tu pourras effectivement évaluer la hessienne en ce point et ce sera beaucoup plus simple.

Roro.

Dernière modification par Roro (22-01-2024 17:13:17)

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Pourquoi c'est (-1,-1) ?
g'(x)=(1-1/x)exp(1/x)+exp(x)(-1/x^2 +1/x)
g'(1)=0 donc 1 est un point critique pour g

après , ce que j'ai fait en tt cas au final , c'est que j'ai vu lim x->+l'infini g(x) = +l'infini
et lim x->-l'infini g(x) = -l'infini
donc la restriction de f à g n'admet ni min local ni max global sur R^2

Dernière modification par tilda (22-01-2024 17:24:52)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : exo min local de R^2

Bonsoir,

Qu'est ce qu'un point critique pour toi ???

En tout cas, le point de coordonnées $(1,1)$ n'est pas critique pour $f$.

Tu as introduit une fonction $g$ qui n'a pas lieu d'être ! En tout cas, je ne vois pas ce qu'elle vient faire ici.

Roro.

Dernière modification par Roro (22-01-2024 17:40:55)

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Bonsoir
un point critique est un point dont la dérivée est nulle (stationnaire)

j'ai dit que 1 était stationnaire pour g

Dernière modification par tilda (22-01-2024 17:48:13)

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Bonjour,

Il faut que tu refasses ta recherche de point critique... il n'y en a qu'un seul : le point $(-1,-1)$.
Roro.

Comment vous avez su , s'il vous plait , que (-1,-1) est le seul pt critique ?

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : exo min local de R^2

Bonsoir

Il faut voir en quel(s) point(s) le gradient s'annule.

A.

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Bonsoir
le gradient s'annule en (x,1/x)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : exo min local de R^2

Bonsoir,

La fonction $x\exp(1/x) + \exp(x)$  s'annule donc pour tout x?

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

1/x*exp(x)
non , ce n'est pas pour tout x

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : exo min local de R^2

Bonsoir ...

La fonction étant symétrique en x et y, ne peut-on pas voir ce qu'il se passe pour x = y ?

Une idée comme ça  !

Bernard-maths

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : exo min local de R^2

Bonsoir,

Bonsoir
le gradient s'annule en (x,1/x)

Non, ce n'est pas le cas.
Est ce que tu peux montrer comment tu as obtenu le gradient ? On va y aller par étape.

Roro.

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Bonsoir ...

La fonction étant symétrique en x et y, ne peut-on pas voir ce qu'il se passe pour x = y ?

Une idée comme ça  !

Bernard-maths

Très bonne remarque , merci beaucoup !

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Bonsoir,

Bonsoir
le gradient s'annule en (x,1/x)

Non, ce n'est pas le cas.
Est ce que tu peux montrer comment tu as obtenu le gradient ? On va y aller par étape.

Roro.

gradientf(x,y)=0 ssi exp(y)+yexp(x)=0 et xexp(y)+exp(x)=0
si exp(y)=-yexp(x) et -xyexp(x)+exp(x)=0
si exp(x)[-xy+1]=0 donc xy=1

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : exo min local de R^2

Bonjour,

C'est bien ce que je sous-entendais dans mon premier post : tu n'as pas travaillé par équivalence, mis uniquement par implication. Tu as dis : si le gradient s'annule alors $x$ et $y$ vérifient $xy=1$ mais tu n'as jamais montré que si $xy=1$ alors le gradient s'annule (il est par exemple évident que pour $x=y=1$ ton gradient n'est pas nul).

Il faut donc maintenant que tu regardes ce qui se passe pour le gradient lorsque $xy=1$ et tu verras qu'il n'est pas toujours nul : il s'annule uniquement si $x\mathrm e^{1/x}+\mathrm e^x=0$. Cette dernière égalité n'étant vraie que pour $x=-1$ (par étude de fonction par exemple).

Roro.

Dernière modification par Roro (23-01-2024 07:24:29)

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

il s'annule uniquement si $x\mathrm e^{1/x}+\mathrm e^x=0$. Cette dernière égalité n'étant vraie que pour $x=-1$ (par étude de fonction par exemple).

Roro.

Bonjour
d'accord merci énormément pour la remarque ,
sinon concernant la réciproque si je prends y=1/x quand je remplace dans le gradient y a un syst il faut que exp(1/x)+1/xexp(x)=0 et xexp(1/x)+exp(x)=0
c'est vrai que c'est symétrique par rapport à x et 1/x donc il suffit de voir avec une seule équation c'était ça votre raisonnement  ?

Merci beaucoup

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : exo min local de R^2

C'est surtout que c'est deux fois la même équation. Pas besoin d'évoquer de symétrie !

Il faut donc maintenant que tu sois convaincue que la seule solution est $x=-1$.

Roro.

Dernière modification par Roro (23-01-2024 11:11:34)

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

D'étudier la fonction c'est un peu compliqué non ?
ce que j'ai fait j'ai factorisé exp(x)(1+xexp(1/x^2) =0 ssi 1+xexp(1/x^2)=0 ssi xexp(1/x^2)=-1 ssi x=-1

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : exo min local de R^2

Bonjour,

D'étudier la fonction c'est un peu compliqué non ?
ce que j'ai fait j'ai factorisé exp(x)(1+xexp(1/x^2) =0 ssi 1+xexp(1/x^2)=0 ssi xexp(1/x^2)=-1 ssi x=-1

Tu n'écris que des choses fausses. Ta factorisation est fausse, et ton équivalence est fausse.

Il est clair que si $x>0$ alors il n'y a pas de solution (somme de termes strictement positifs), et en dérivant la fonction, il est aussi clair qu'elle est strictement croissante sur $]-\infty,0[$.

Roro.

Dernière modification par Roro (23-01-2024 15:01:14)

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Oui j'ai fait une faute , je m'excuse.
comment vous avez su qu'elle s'annule en -1 donc ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : exo min local de R^2

Bonjour,

  Je crois que le raisonnement de Roro est clair ! Il n'y a pas de solutions à l'équation sur $[0,+\infty[$ et il y a une seule solution sur $]-\infty,0]$ par le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions continues strictement croissantes.
Il suffit ensuite de vérifier que $-1$ est solution (et un moyen pour le "deviner" c'est de représenter la fonction!).

F.

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires des fcts continues strictement monotone donne l'existence de c dans ]-l'infini ,0[ f(c)=0 forcément ??

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : exo min local de R^2

Peut-être que tu peux réfléchir aux hypothèses et conclusions du théorème des valeurs intermédiaires....

tilda

Membre

Inscription : 18-02-2023

Messages : 140

Re : exo min local de R^2

Oui d'accord merci beaucoup Fred .
dans notre cas f étant bijective (continue et strictement croissante) dans le tableau de variation de f , f(x) appartient à ]-l'infini,1[ donc il existe unique c dans ]-l'infini,0[ tel que f(c)=0
ça me reste qu'à determiner le c , s'il y a une autre méthode qu'à le graphe parce que le graphe prend un peu de temps ..

Merci beaucoup Roro pour votre aide !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : exo min local de R^2

Il suffit de vérifier que $-1$ est solution évidente...