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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 23-01-2024 14:20:33
Il suffit de vérifier que $-1$ est solution évidente...
- tilda
- 23-01-2024 14:07:29
Oui d'accord merci beaucoup Fred .
dans notre cas f étant bijective (continue et strictement croissante) dans le tableau de variation de f , f(x) appartient à ]-l'infini,1[ donc il existe unique c dans ]-l'infini,0[ tel que f(c)=0
ça me reste qu'à determiner le c , s'il y a une autre méthode qu'à le graphe parce que le graphe prend un peu de temps ..
Merci beaucoup Roro pour votre aide !
- Fred
- 23-01-2024 13:50:32
Peut-être que tu peux réfléchir aux hypothèses et conclusions du théorème des valeurs intermédiaires....
- tilda
- 23-01-2024 13:34:37
Est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires des fcts continues strictement monotone donne l'existence de c dans ]-l'infini ,0[ f(c)=0 forcément ??
- Fred
- 23-01-2024 13:21:30
Bonjour,
Je crois que le raisonnement de Roro est clair ! Il n'y a pas de solutions à l'équation sur $[0,+\infty[$ et il y a une seule solution sur $]-\infty,0]$ par le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions continues strictement croissantes.
Il suffit ensuite de vérifier que $-1$ est solution (et un moyen pour le "deviner" c'est de représenter la fonction!).
F.
- tilda
- 23-01-2024 13:08:23
Oui j'ai fait une faute , je m'excuse.
comment vous avez su qu'elle s'annule en -1 donc ?
- Roro
- 23-01-2024 12:52:14
Bonjour,
D'étudier la fonction c'est un peu compliqué non ?
ce que j'ai fait j'ai factorisé exp(x)(1+xexp(1/x^2) =0 ssi 1+xexp(1/x^2)=0 ssi xexp(1/x^2)=-1 ssi x=-1
Tu n'écris que des choses fausses. Ta factorisation est fausse, et ton équivalence est fausse.
Il est clair que si $x>0$ alors il n'y a pas de solution (somme de termes strictement positifs), et en dérivant la fonction, il est aussi clair qu'elle est strictement croissante sur $]-\infty,0[$.
Roro.
- tilda
- 23-01-2024 11:42:48
D'étudier la fonction c'est un peu compliqué non ?
ce que j'ai fait j'ai factorisé exp(x)(1+xexp(1/x^2) =0 ssi 1+xexp(1/x^2)=0 ssi xexp(1/x^2)=-1 ssi x=-1
- Roro
- 23-01-2024 11:10:16
C'est surtout que c'est deux fois la même équation. Pas besoin d'évoquer de symétrie !
Il faut donc maintenant que tu sois convaincue que la seule solution est $x=-1$.
Roro.
- tilda
- 23-01-2024 11:03:24
il s'annule uniquement si $x\mathrm e^{1/x}+\mathrm e^x=0$. Cette dernière égalité n'étant vraie que pour $x=-1$ (par étude de fonction par exemple).
Roro.
Bonjour
d'accord merci énormément pour la remarque ,
sinon concernant la réciproque si je prends y=1/x quand je remplace dans le gradient y a un syst il faut que exp(1/x)+1/xexp(x)=0 et xexp(1/x)+exp(x)=0
c'est vrai que c'est symétrique par rapport à x et 1/x donc il suffit de voir avec une seule équation c'était ça votre raisonnement ?
Merci beaucoup
- Roro
- 23-01-2024 06:50:12
Bonjour,
C'est bien ce que je sous-entendais dans mon premier post : tu n'as pas travaillé par équivalence, mis uniquement par implication. Tu as dis : si le gradient s'annule alors $x$ et $y$ vérifient $xy=1$ mais tu n'as jamais montré que si $xy=1$ alors le gradient s'annule (il est par exemple évident que pour $x=y=1$ ton gradient n'est pas nul).
Il faut donc maintenant que tu regardes ce qui se passe pour le gradient lorsque $xy=1$ et tu verras qu'il n'est pas toujours nul : il s'annule uniquement si $x\mathrm e^{1/x}+\mathrm e^x=0$. Cette dernière égalité n'étant vraie que pour $x=-1$ (par étude de fonction par exemple).
Roro.
- tilda
- 22-01-2024 23:02:14
Bonsoir,
tilda a écrit :Bonsoir
le gradient s'annule en (x,1/x)Non, ce n'est pas le cas.
Est ce que tu peux montrer comment tu as obtenu le gradient ? On va y aller par étape.Roro.
gradientf(x,y)=0 ssi exp(y)+yexp(x)=0 et xexp(y)+exp(x)=0
si exp(y)=-yexp(x) et -xyexp(x)+exp(x)=0
si exp(x)[-xy+1]=0 donc xy=1
- tilda
- 22-01-2024 22:55:51
Bonsoir ...
La fonction étant symétrique en x et y, ne peut-on pas voir ce qu'il se passe pour x = y ?
Une idée comme ça !
Bernard-maths
Très bonne remarque , merci beaucoup !
- Roro
- 22-01-2024 21:46:28
Bonsoir,
Bonsoir
le gradient s'annule en (x,1/x)
Non, ce n'est pas le cas.
Est ce que tu peux montrer comment tu as obtenu le gradient ? On va y aller par étape.
Roro.
- Bernard-maths
- 22-01-2024 21:33:54
Bonsoir ...
La fonction étant symétrique en x et y, ne peut-on pas voir ce qu'il se passe pour x = y ?
Une idée comme ça !
Bernard-maths