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MarounH

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2 endomorphismes commutant et diagonalisables

Bonjour, ça fait un bout de temps que je suis coincé sur cette question: Soient u,v 2 endomorphismes qui commutent et diagonalisables, u possède n valeurs propres distinctes. Montrer que v est un polynome en u.

J'ai essayé d'utiliser divers propriétés telles que: u et v sont diagonalisables dans une meme base ou que v commutent avec tous les polynomes en u. Mais, rien n'y fait et je ne trouve pas de corrections.

Si quelqu'un pourrait me résoudre ce problème, cela m'aiderait beaucoup.

Merci d'avance.

Roro

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Re : 2 endomorphismes commutant et diagonalisables

Bonsoir,

Une fois que tu as diagonalisé tes deux endomorphismes dans une base commune, il te suffit de trouver un polynôme qui envoie les valeurs propres (je les note $\lambda_i$) d'un endomorphisme sur les valeurs propres ($\mu_i$) de l'autre endomorphisme.

Et trouver un polynôme $P$ tel que pour tout $i\in \{1,...,n\}$ on ait $P(\lambda_i)=\mu_i$ doit être faisable, surtout si tous les $\lambda_i$ sont distincts.

Roro.

Dernière modification par Roro (21-01-2024 20:49:32)

MarounH

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Re : 2 endomorphismes commutant et diagonalisables

Bonsoir,

Une fois que tu as diagonalisé tes deux endomorphismes dans une base commune, il te suffit de trouver un polynôme qui envoie les valeurs propres (je les note $\lambda_i$) d'un endomorphisme sur les valeurs propres ($\mu_i$) de l'autre endomorphisme.

Et trouver un polynôme $P$ tel que pour tout $i\in \{1,...,n\}$ on ait $P(\lambda_i)=\mu_i$ doit être faisable, surtout si tous les $\lambda_i$ sont distincts.

Roro.

Merci pour ta réponse, par contre je ne comprends pas la solution. Comment est-ce que trouver un Polynome tel que $P(\lambda_i)=\mu_i$ garantit-il que v est un polynome en u?

Roro

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Re : 2 endomorphismes commutant et diagonalisables

Comment est-ce que trouver un Polynome tel que $P(\lambda_i)=\mu_i$ garantit-il que v est un polynome en u?

Est ce que tu es d'accord que si $\mathcal P$ est un polynôme, et que $Q$ et $D$ sont deux matrices alors $\mathcal P(QDQ^{-1}) = Q\mathcal P(D) Q^{-1}$ ?

En déduis-tu ce qu'il te manque ?

Roro.

Dernière modification par Roro (21-01-2024 21:54:06)

MarounH

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Re : 2 endomorphismes commutant et diagonalisables

Comment est-ce que trouver un Polynome tel que $P(\lambda_i)=\mu_i$ garantit-il que v est un polynome en u?

Est ce que tu es d'accord que si $\mathcal P$ est un polynôme, et que $Q$ et $D$ sont deux matrices alors $\mathcal P(QDQ^{-1}) = Q\mathcal P(D) Q^{-1}$ ?

En déduis-tu ce qu'il te manque ?

Roro.

oui cela parait logique mais non je ne sais pas ou tu veux en venir.

Roro

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Re : 2 endomorphismes commutant et diagonalisables

Re-bonsoir,

oui cela parait logique mais non je ne sais pas ou tu veux en venir.

Je ne vais pas t'écrire la solution mais tu as maintenant tout pour conclure : tu diagonalises $u$ et $v$ dans une même base (par exemple $\mathrm{Mat}(u) = QDQ^{-1}$ et $\mathrm{Mat}(v) = QD'Q^{-1}$). Tu appliques $\mathcal P$ à la matrice $\mathrm{Mat}(u)$ et tu trouves $\mathrm{Mat}(v)$...

Roro.

Dernière modification par Roro (21-01-2024 22:07:07)

MarounH

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Re : 2 endomorphismes commutant et diagonalisables

Bonsoir,

Ah, voilà ça a marché. Merci et bonne soirée.

Dernière modification par yoshi (22-01-2024 11:00:36)