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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- MarounH
- 21-01-2024 22:23:59
Bonsoir,
Ah, voilà ça a marché. Merci et bonne soirée.
- Roro
- 21-01-2024 22:06:35
Re-bonsoir,
oui cela parait logique mais non je ne sais pas ou tu veux en venir.
Je ne vais pas t'écrire la solution mais tu as maintenant tout pour conclure : tu diagonalises $u$ et $v$ dans une même base (par exemple $\mathrm{Mat}(u) = QDQ^{-1}$ et $\mathrm{Mat}(v) = QD'Q^{-1}$). Tu appliques $\mathcal P$ à la matrice $\mathrm{Mat}(u)$ et tu trouves $\mathrm{Mat}(v)$...
Roro.
- MarounH
- 21-01-2024 21:59:53
MarounH a écrit :Comment est-ce que trouver un Polynome tel que $P(\lambda_i)=\mu_i$ garantit-il que v est un polynome en u?
Est ce que tu es d'accord que si $\mathcal P$ est un polynôme, et que $Q$ et $D$ sont deux matrices alors $\mathcal P(QDQ^{-1}) = Q\mathcal P(D) Q^{-1}$ ?
En déduis-tu ce qu'il te manque ?
Roro.
oui cela parait logique mais non je ne sais pas ou tu veux en venir.
- Roro
- 21-01-2024 21:52:58
Comment est-ce que trouver un Polynome tel que $P(\lambda_i)=\mu_i$ garantit-il que v est un polynome en u?
Est ce que tu es d'accord que si $\mathcal P$ est un polynôme, et que $Q$ et $D$ sont deux matrices alors $\mathcal P(QDQ^{-1}) = Q\mathcal P(D) Q^{-1}$ ?
En déduis-tu ce qu'il te manque ?
Roro.
- MarounH
- 21-01-2024 21:09:38
Bonsoir,
Une fois que tu as diagonalisé tes deux endomorphismes dans une base commune, il te suffit de trouver un polynôme qui envoie les valeurs propres (je les note $\lambda_i$) d'un endomorphisme sur les valeurs propres ($\mu_i$) de l'autre endomorphisme.
Et trouver un polynôme $P$ tel que pour tout $i\in \{1,...,n\}$ on ait $P(\lambda_i)=\mu_i$ doit être faisable, surtout si tous les $\lambda_i$ sont distincts.
Roro.
Merci pour ta réponse, par contre je ne comprends pas la solution. Comment est-ce que trouver un Polynome tel que $P(\lambda_i)=\mu_i$ garantit-il que v est un polynome en u?
- Roro
- 21-01-2024 20:48:12
Bonsoir,
Une fois que tu as diagonalisé tes deux endomorphismes dans une base commune, il te suffit de trouver un polynôme qui envoie les valeurs propres (je les note $\lambda_i$) d'un endomorphisme sur les valeurs propres ($\mu_i$) de l'autre endomorphisme.
Et trouver un polynôme $P$ tel que pour tout $i\in \{1,...,n\}$ on ait $P(\lambda_i)=\mu_i$ doit être faisable, surtout si tous les $\lambda_i$ sont distincts.
Roro.
- MarounH
- 21-01-2024 20:19:33
Bonjour, ça fait un bout de temps que je suis coincé sur cette question: Soient u,v 2 endomorphismes qui commutent et diagonalisables, u possède n valeurs propres distinctes. Montrer que v est un polynome en u.
J'ai essayé d'utiliser divers propriétés telles que: u et v sont diagonalisables dans une meme base ou que v commutent avec tous les polynomes en u. Mais, rien n'y fait et je ne trouve pas de corrections.
Si quelqu'un pourrait me résoudre ce problème, cela m'aiderait beaucoup.
Merci d'avance.