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tilda

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La constante de la primitive

Bonjour

S'il vous plait , quand on intégre une fonction dans un domaine où elle est définie (et continue ..) , est-ce qu'il faut rajouter la constante c à la primitive impérativement et d'essayer de la déterminer après ?
sinon je remarque des fois quand les bornes sont connues et finies on se débarasse de cette dernière en supposant qu'elle est égale à 0 peut-être ?

C'est délicat de la déterminer parfois ou quoi ?

En général , j'essaie de voir avec les limites de la fonction , mais je n'ai pas assez d'idées à ce propos , si vous pourriez me clarifier ceci merci bien.

Dernière modification par tilda (29-12-2023 11:42:58)

bridgslam

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Re : La constante de la primitive

Bonjour,

La constante fait partie intégrante (sans jeu de mot) d'UNE primitive sur un intervalle, il y  a donc a priori autant de constantes que de primitives sur cet intervalle
La différence entre deux primitives données sur un même intervalle est une constante ( par linéarité la dérivée de leur différence doit être nulle sur l'intervalle)
Il n'y a pas LA primitive à laquelle on greffe une constante...

Si on a des renseignements annexes ( valeur fixée, ou bien images située dans un intervalle par exemple, cela dépend du problème), cela limite souvent les possibilités (parfois à une seule,
par exemple sur [2,3] $\int_{2}^x  dt/t $  est LA primitive F de la fonction x -> 1/x qui s'annule en 2, on trouve F(x) = ln(x/2) $
)

Dernière modification par bridgslam (29-12-2023 12:09:57)

tilda

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Re : La constante de la primitive

Si on a des renseignements annexes ( valeur fixée, ou bien images située dans un intervalle par exemple, cela dépend du problème), cela limite souvent les possibilités (parfois à une seule,
par exemple sur [2,3] $\int_{2}^x  dt/t $  est LA primitive F de la fonction x -> 1/x qui s'annule en 2, on trouve F(x) = ln(x/2) $
)

Pourquoi vous n'avez pas rajouter c à F ?

Dernière modification par tilda (29-12-2023 23:35:27)

Zebulor

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Re : La constante de la primitive

Bonjour,
Parce que F s’annule en 2 ...
Une primitive F de la fonction x -> 1/x s’ecrit x -> ln(x) +c
Celle qui s annule en 2 s écrit sous forme intégrale comme dans le post de bridgslam, et en l occurrence c vaut -ln(2)

Dernière modification par Zebulor (30-12-2023 09:39:06)

Black Jack

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Re : La constante de la primitive

Bonjour,

Si F(x) = ln|x| + C
... et qu'on désire avoir LA primitive qui s'annule en x = 2, alors :

F(2) = ln|2| + C = 0
C = -ln(2)

Et LA primitive de f(x) = 1/x qui s'annule en x = 2 est :  F(x) = ln|x| - ln(2)
******
Si on avait désiré LA primitive de f(x) = 1/x qui est égale à 2 pour x = -3, on aurait eu:

F(x) = ln|x| + C
F(-3) = ln|-3| + C = 2
C = 2 - ln(3)

Et LA primitive de f(x) = 1/x qui est égale à 2 pour x = -3 est : F(x) = ln|x| + 2 - ln(3)
***************
On remarquera que dans le cas des primitives de f(x) = 1/x, se contenter d'ajouter "+C", soit écrire F(x) = ln|x| + C,avec C une constante réelle quelconque,n'est pas suffisant pour avoir TOUTES les primitives.

En effet, des primitives de f(x) = 1/x existent pour x compris dans ]-oo ; 0[ et aussi pour x compris dans ]0 ; +oo[ ...

Si on veut TOUTES les primitives de f(x) = 1/x, alors l'ajout d'une seule constante ne suffit pas... car le domaine d'existence n'est pas connexe (en un seul morceau).

Si on veut toutes les primitives de f(x) = 1/x, alors il faut écrire :

F(x) = ln|x| + C1 pour x < 0
F(x) = ln|x| + C2 pour x > 0

C1 et C2 étant des constantes quelconques (donc pas forcément égales) à déterminer avec des conditions imposées si elles existent.

****
On pourrait aussi écrire (cela revient au même) :

F(x) = ln(-x) + C1 pour x < 0
F(x) = ln(x) + C2 pour x > 0
***************
On pourrait donc par exemple ici demander LA primitive de f(x) = 1/x qui s'annule en x = 2 ET qui est égale à 2 pour x = -3

LA primitive aurait alors été :

F(x) = ln|x| + 2 - ln(3) pour x < 0
F(x) = ln|x| - ln(2) pour x > 0

Dernière modification par Black Jack (30-12-2023 10:40:19)

tilda

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Re : La constante de la primitive

Merci énormément !

Bonne journée

bridgslam

Membre Expert

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Re : La constante de la primitive

Bonjour,

Une analogie pour comprendre:
Si vous cherchez les plans // à un plan donné dans l'espace affine euclidien, la solution n'est pas un unique plan.
Mais entre deux plans solutions quelconques, l'écart est une constante C.
A partir d'une solution particulière, Vous les aurez toutes en prenant tous les écarts possibles.
Idem si cherchez tous les points se projetant au même point selon une direction, etc.