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Borassus

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Les deux expressions de cos(pi/12) et de sin(pi/12)

Bonsoir ou bonjour,

L'utilisation des formules
[tex]\cos^2(\frac{a}{2}) = \frac{1 + \cos(a)}{2}[/tex]
et
[tex]\sin^2(\frac{a}{2}) = \frac{1 - \cos(a)}{2}[/tex]
aboutit aux expressions
[tex]\cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}[/tex]   et  [tex]\sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}[/tex]

L'utilisation (en écrivant que [tex]\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}[/tex]), beaucoup plus lourde, et donc parfaitement inélégante — c'est important, pédagogiquement important, la simplicité et l'élégance d'un raisonnement !!! — des formules
[tex]\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)[/tex]
et
[tex]\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)[/tex]
aboutit aux expressions
[tex]\cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}[/tex]   dans cet ordre !!  (et non [tex]\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})[/tex]
et
[tex]\sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}[/tex]

Comment directement passer élégamment d'une expression à son expression correspondante ?

Merci d'avance de votre aide.

Dernière modification par Borassus (23-12-2023 20:56:18)

Fred

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Re : Les deux expressions de cos(pi/12) et de sin(pi/12)

Bonsoir,

Comment directement passer élégamment d'une expression à son expression correspondante ?

Merci d'avance de votre aide.

Je ne comprends pas bien la question (notamment le élégamment).

Prouver que $\frac{\sqrt{2+\sqrt 3}}4$ est égal à $\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}2$ est presque immédiat en comparant les carrés, mais est-ce élégant???

F.

Borassus

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Re : Les deux expressions de cos(pi/12) et de sin(pi/12)

Bonsoir Fred,

Merci de ta réponse.
Et de ta question ponctuée de tes trois points d'interrogation.  :-)

Là, tu montres l'égalité des deux expressions, en les connaissant préalablement toutes deux.

Ce n'est pas véritablement ce que je demande, qui est
« Comment passer de [tex]\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}[/tex]  à  [tex]\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}[/tex] ?
(sans éventuellement savoir au départ à quelle expression on doit aboutir) »

Et réciproquement.

Idem pour l'expression du sinus.

Donc, pour répondre à ta question, la solution que tu proposes n'est pas tout à fait élégante.  :-)

Rescassol

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Re : Les deux expressions de cos(pi/12) et de sin(pi/12)

Bonjour,

[tex]4(2+\sqrt{3})=8+4\sqrt{3}=6+4\sqrt{3}+2=6+2\sqrt{12}+2=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2[/tex]

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (23-12-2023 21:52:29)

Borassus

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Re : Les deux expressions de cos(pi/12) et de sin(pi/12)

Merci, Rescassol, de m'avoir mis sur la voie !

Comme mon impératif est de bien expliquer à mes élèves (ici, à des élèves de Première, pas forcément bons en maths) la logique des calculs, sans qu'ils aient l'impression de "solutions ou d'astuces sorties du chapeau" qu'ils n'auraient pas trouvées par eux-mêmes, j'ai réécrit comme suit, comme je l'expliquerai, la solution que tu proposes :

[tex]\left( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \right)^2  = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}[/tex]

[tex]= \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16}[/tex]   (multiplier en haut et en bas par 4 pour obtenir un carré au dénominateur ; la logique est similaire à celle qui consiste à multiplier numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée de l'un des deux, sachant que l'expression conjuguée de 4 est naturellement 4)

[tex]= \frac{8 + 2 \times 2\sqrt{3}}{16}[/tex]    (pour préparer un double produit éventuel)

[tex]= \frac{8 + 2\sqrt{12}}{16}[/tex]      (car [tex]2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3}[/tex])

[tex]= \frac{8 + 2\sqrt{6 \times 2}}{16}[/tex]

[tex]= \frac{6 + 2\sqrt{6} \times \sqrt{2} + 2}{16}[/tex]      (décomposer 8 en 6 + 2 de façon à faire apparaître les carrés des deux  racines)

[tex]\frac{(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{\left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right)^2}{16} = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) ^2[/tex]

d'où finalement

[tex]\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}[/tex]

Ce n'est pas vraiment ce que j'appelle une solution élégante, courte et ne nécessitant pas de calculs laborieux, mais je ne pense pas qu'on puisse faire mieux. Je la testerai dès que possible. Merci encore !
________________

PS : Quel logiciel d'édition LaTeX wysiwyg me conseilleriez-vous ?

Dernière modification par Borassus (24-12-2023 01:20:50)

Borassus

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Re : Les deux expressions de cos(pi/12) et de sin(pi/12)

La démarche inverse est plus simple, et plus facile à expliquer :

[tex]\left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{6 + 2 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{8 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}[/tex]

D'où

[tex]\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}[/tex]