Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#2 16-12-2023 13:55:14
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Bonjour,
Il suffit de montrer que si dans (ExE, d' ) une suite $(x_n,y_n)$ converge vers $(x,y)$ alors la suite $d(x_n, y_n)$ converge vers $d(x,y)$
(Caractérisation séquentielle de la continuité entre espaces métriques).
Une fois l'hypothèse mise en forme , la conclusion s'obtient directement en utilisant l'inégalité triangulaire pour d.
Par-contre je ne vois pas ce que la compacité de E vient faire dans cette affaire ( peut-être utile juste pour la suite du problème?)
A.
Hors ligne
#4 16-12-2023 15:37:42
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
En utilisant les hypothèses, vous devez prouver que
$| d(x,y) - d(x_n, y_n)| $ tend vers 0.
La preuve est simple et naturelle.
Si je vous écris tout après vous avoir mis sur les rails, ça revient à le faire à vôtre place.
Essayez , ça vient tout seul.
A.
Hors ligne
#5 18-12-2023 15:10:49
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Si je suppose que (xn,yn) converge vers (x,y) , reste à montrer que d(xn,yn) converge vers d(x,y).
par hypothèse , d((xn,yn)) tend vers 0 quand n assez grand
donc |(xn,yn)-(x,y)| tend vers 0
j'utilise l'inégalité triangulaire renversée
ça donne |d(xn,yn)-d(x,y)|<=|(xn,yn)-(x,y)| qui tend bien vers 0.
Est-ce correcte ?
Hors ligne
#6 18-12-2023 16:02:56
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Si je suppose que (xn,yn) converge vers (x,y) , reste à montrer que d(xn,yn) converge vers d(x,y).
Il faut préciser l'hypothèse au sens de d', distance définie entre couples, conclusion (à montrer) OK
par hypothèse , d((xn,yn)) tend vers 0 quand n assez grand
Converge pour n assez grand est une locution qui ne veut rien dire.
d'autre part l'hypothèse que vous écrivez n'a jamais été faite
donc |(xn,yn)-(x,y)| tend vers 0
la différence entre couples n'a pas de sens
j'utilise l'inégalité triangulaire renversée
ça donne |d(xn,yn)-d(x,y)|<=|(xn,yn)-(x,y)| qui tend bien vers 0.
même remarque, différence entre des couples, aucun sens...
Je vous indique les jalons:
hypothèse : $(x_n,y_n) \;converge \;vers \; (x,y)$ pour la distance d'.
1/
Montrer alors que $(x_n)$ (resp. $(y_n)$) converge vers x (resp. y) pour la distance d.
Cela se fait immédiatement depuis la définition de d'.
2/ arriver presque à la conclusion à partir de ces résultats de convergence vers x et y:
$d(x,y) \le d(x, x_n) + d((x_n,y_n) + d(y_n, y)$ , en tirer une première inégalité
En remplaçant x par x_n, et y par y_n, et la propriété de symétrie de la distance on a la deuxième inégalité.
Plus rapidement c'est le passage à la limite dans les inégalités, qu'on vient de montrer.
3/ conclusion : en déduire que $ |d(x,y) - d(x_n,y_n)| converge vers 0 lorque n tend vers l'infini.
4/ épilogue: d est continue
A.
Hors ligne
#8 18-12-2023 17:50:16
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Si E est un ensemble de chèvres et de choux dans un champ, avec la distance habituelle, que vaut (chèvre, chèvre) + (chou,chou) etc ... ?
Pourquoi voulez-vous additionner des couples ?
Aucune opération sur E et encore moins sur ExE n'intervient dans votre question.
On a juste deux distances, E en soi est a priori quelconque, que ce soit l'arche de Noë, le contenu de la hotte du Père Noël , Adam et Eve, un jeu de 52 cartes....
ou tout ce que vous voulez...
A.
Hors ligne
#10 18-12-2023 20:57:50
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Bonsoir,
Si $E = \mathbb{R}$, vous avez juste une structure plus riche, mais indépendante des questions liées à d,d'...
Rien à voir avec la question donc.
Mis à part que E est un ensemble, d une distance sur E dont on dérive d' sur ExE, on n'a rien besoin d'autre et à chaque jour suffit sa peine.
Ce serait déjà pas mal de résoudre les choses avec ce qui est posé (et qui suffisent) , sans inventer des structures ou opérations ectoplasmiques...
L'opération que vous donnez sur les couples de réels est à revoir de près, elle n'aura certainement pas de bonnes propriétés algébriques: ni commutative, ni associative...
Bonne nuit
A.
Dernière modification par bridgslam (19-12-2023 14:00:39)
Hors ligne
#11 18-12-2023 21:42:31
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Re : Continuité de d dans un métrique compact
D'accord Bridgslam , merci beaucoup pour toute information ! c'est très gentil.
Sinon , j'ai une dernière question concernant ce problème ; pourrais-je la poser si ça vous dérange pas ?
Hors ligne
#12 19-12-2023 12:11:42
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Bonjour,
Vous pouvez poster toutes les questions que vous voulez, c'est un forum, si ce n'est pas moi qui y répond, ce sera certainement quelqu'un d'autre.
Vos questions semblent graviter principalement autour de la topologie, des contributeurs ici y sont extrêmement compétents.
Quel est vôtre niveau d'étude, si ce n'est pas indiscret ?
Quelques règles à respecter bien-sûr : énoncés clairs, sans omettre des hypothèses, montrer vos tentatives ou vos idées ...
Il semble qu'à chaque articulation ou étapes des raisonnements il faille pratiquement tout vous écrire, et qu'il y a de nombreux non-sens ou confusions exprimés.
Donc une première démarche personnelle est de revoir vos cours (définitions, théorèmes...), puis vis à vis des questions posées tenter de voir des ponts
avec les sujets étudiés en rapport, quelques fois d'autres exercices déjà résolus... qui peuvent constituer des lemmes...
Dîtes-vous toujours que vous avez toujours les moyens de trouver les solutions avec vos connaissances actuelles.
Des démarches actives vis à vis des preuves du cours ( voir pourquoi telle ou telle hypothèse est nécessaire, ou les affaiblir, refaire les preuves soi-même au papier quelques jours plus tard, etc ) sont normalement bénéfiques et font avancer à pas de géant, si on joue le jeu.
Bonne journée
A.
Dernière modification par bridgslam (19-12-2023 12:13:11)
Hors ligne
#13 19-12-2023 12:21:12
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Re : Continuité de d dans un métrique compact
D'accord Bridgslam , je ferai mon mieux de vos conseils , merci énormément.
Moi , je suis en L3.
En ce qui concerne ma question est la suivante : $x_n=f^{n}(x_0)$ $x_0 \in E$ quelconque
et j'ai $x_{phi(n)}$ tend vers x (une suite extraite de $(x_n)$)
pourquoi est-ce que $x_{phi(n)+1}$ tend vers f(x) ?
en donnant comme remarque dans le problème que $(x_{phi(n)+1})$ n'est pas une suite extraite de $x_{phi(n)}$
Merci beaucoup.
Dernière modification par tilda (19-12-2023 12:24:58)
Hors ligne
#14 19-12-2023 13:18:00
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Bonjour,
Toujours pareil, quelle est f, une application quelconque ? Aucune hypothèse oubliée ?
Qu'avez-vous fait ?
Le problème est qu'on ne peut (et doit) pas faire le problème à vôtre place, tout au plus donner des indications ou mises sur la voie.
Il faut préciser a minima vos tentatives... vos idées etc.
A.
Hors ligne
#16 22-12-2023 11:11:32
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Bonjour,
Ok cest pénible de glaner constamment les informations, et chaque fois ou souvent les plus essentielles.
f est donc (uniformément) continue.
Que pouvez-vous en déduire côté convergence de suites?
Bonne journée
A.
Hors ligne
#18 22-12-2023 11:52:25
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Telle quelle votre assertion ne signifie rien.
Il faut préciser: de quelles suites parlez-vous? Et dans quel espace ( il y en a deux au début de votre exo) ?
A.
Hors ligne
#19 22-12-2023 19:17:17
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Je parle de (x_{phi(n)}) , et c'est le même espace (E,d) on a juste rappeler l'espace ExE muni de sa distance d'.
Sinon , vous avez dit que : "f est donc (uniformément) continue." pourquoi uniformément ? dans ce cas elle est juste 1-lipschitz , on n'a pas l'équivalence entre uniformément et lipschitzienne dans un espace de dimension quelconque , n'est ce pas ?
Hors ligne
#20 22-12-2023 20:11:48
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Que cette suite extraite converge était fourni en hypothèse de votre question ( à cause de la compacité de E, elle existe , sinon ce ne serait pas certain pour toute f donnée).
C'est cela + la continuité de f que vous devez exploiter ensemble pour avancer sur la question.
Les fonctions k-lipschitz sont des cas particuliers d'uniforme continuité (genre uniforme uniformité si je puis dire...)
Reprenez les définitions brutes, vous verrez, je ne peux pas tout réécrire.
Il n'y a pas d'histoire de dimension non plus: E est un simple ensemble muni d'une distance ( rien de plus sauf qu'il est compact pour la topologie induite par d).
Si j'étais vous, je zoomerais sur les notions de base qui semblent chancelantes:
_ distance, propriétés, boules, voisinages
_ fermés, ouverts, adhérence, intérieur, extérieur, frontière
_ densité, séparabilité
_ suites convergentes, suites de Cauchy
_ continuité, continuité uniforme
Par la suite les notions de compacité, connexité
La topologie générale permet d'avoir une plus grande hauteur de vue, en dégageant l'essentiel, je ne sais pas si c'est à votre étude.
Pour résumer, reprenez de près les définitions, tout semble assez flou.
Bonne soirée
A.
Hors ligne
#21 22-12-2023 20:22:22
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
A noter aussi que toutes les fonctions continues définies sur E seront uniformément continues, car E est compact
( Théorème de Heine), c'est tant mieux.
La propriété supposée pour f précise juste comment elle est uniforme.
Hors ligne
#22 22-12-2023 20:28:38
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Bonsoir
vous avez dit "Les fonctions k-lipschitz sont des cas particuliers d'uniforme continuité (genre uniforme uniformité si je puis dire...)
Reprenez les définitions brutes, vous verrez, je ne peux pas tout réécrire.
Il n'y a pas d'histoire de dimension non plus "
Si on prends la fonction x qu'on lui associe racine(x) sur [0,1] à valeurs dans R , cette fonction n'est pas lipschitzienne sur [0,1] (inégalité des accroissements finis) mais elle en est uniformément continue.
Dernière modification par tilda (22-12-2023 20:34:02)
Hors ligne
#23 22-12-2023 20:30:36
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Re : Continuité de d dans un métrique compact
A noter aussi que toutes les fonctions continues définies sur E seront uniformément continues, car E est compact
( Théorème de Heine), c'est tant mieux.
La propriété supposée pour f précise juste comment elle est uniforme.
Oui c'est ça , puisque E est compact , dans ce cas , on a l'uniformité
Merci beaucoup
Hors ligne
#25 23-12-2023 09:36:12
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité de d dans un métrique compact
Bonjour,
bridgslam a écrit :A noter aussi que toutes les fonctions continues définies sur E seront uniformément continues, car E est compact
( Théorème de Heine), c'est tant mieux.
La propriété supposée pour f précise juste comment elle est uniforme.Oui c'est ça , puisque E est compact , dans ce cas , on a l'uniformité
Je résume quand-même car quelque chose ne semble pas tout à fait clair pour vous:
- la compacité posée au départ ne sert qu'à la dernière question: pour pouvoir extraire une sous-suite convergente de toute suite dans E
Sinon, cette possibilité dépendrait de la suite particulière choisie ( définie à partir de f ), donc dépendrait du choix de f dans l'absolu.
- la propriété sur f que l'on vous donne (1-lipschitz comme vous l'avez dit) affiche d'emblée son uniforme continuité
( il est faux évidemment que toute fonction uniformément continue sera 1-lipschitz, à quoi sert vôtre exemple ?)
- dès lors que f est continue, sa continuité uniforme était obligée de toute façon puisque sa source est un compact.
La question précédente ne fait qu'"enfoncer le clou" ...
Alain
Hors ligne