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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 23-12-2023 09:36:12
Bonjour,
bridgslam a écrit :A noter aussi que toutes les fonctions continues définies sur E seront uniformément continues, car E est compact
( Théorème de Heine), c'est tant mieux.
La propriété supposée pour f précise juste comment elle est uniforme.Oui c'est ça , puisque E est compact , dans ce cas , on a l'uniformité
Je résume quand-même car quelque chose ne semble pas tout à fait clair pour vous:
- la compacité posée au départ ne sert qu'à la dernière question: pour pouvoir extraire une sous-suite convergente de toute suite dans E
Sinon, cette possibilité dépendrait de la suite particulière choisie ( définie à partir de f ), donc dépendrait du choix de f dans l'absolu.
- la propriété sur f que l'on vous donne (1-lipschitz comme vous l'avez dit) affiche d'emblée son uniforme continuité
( il est faux évidemment que toute fonction uniformément continue sera 1-lipschitz, à quoi sert vôtre exemple ?)
- dès lors que f est continue, sa continuité uniforme était obligée de toute façon puisque sa source est un compact.
La question précédente ne fait qu'"enfoncer le clou" ...
Alain
- bridgslam
- 22-12-2023 20:54:42
Avec plaisir.
A.
- tilda
- 22-12-2023 20:30:36
A noter aussi que toutes les fonctions continues définies sur E seront uniformément continues, car E est compact
( Théorème de Heine), c'est tant mieux.
La propriété supposée pour f précise juste comment elle est uniforme.
Oui c'est ça , puisque E est compact , dans ce cas , on a l'uniformité
Merci beaucoup
- tilda
- 22-12-2023 20:28:38
Bonsoir
vous avez dit "Les fonctions k-lipschitz sont des cas particuliers d'uniforme continuité (genre uniforme uniformité si je puis dire...)
Reprenez les définitions brutes, vous verrez, je ne peux pas tout réécrire.
Il n'y a pas d'histoire de dimension non plus "
Si on prends la fonction x qu'on lui associe racine(x) sur [0,1] à valeurs dans R , cette fonction n'est pas lipschitzienne sur [0,1] (inégalité des accroissements finis) mais elle en est uniformément continue.
- bridgslam
- 22-12-2023 20:22:22
A noter aussi que toutes les fonctions continues définies sur E seront uniformément continues, car E est compact
( Théorème de Heine), c'est tant mieux.
La propriété supposée pour f précise juste comment elle est uniforme.
- bridgslam
- 22-12-2023 20:11:48
Que cette suite extraite converge était fourni en hypothèse de votre question ( à cause de la compacité de E, elle existe , sinon ce ne serait pas certain pour toute f donnée).
C'est cela + la continuité de f que vous devez exploiter ensemble pour avancer sur la question.
Les fonctions k-lipschitz sont des cas particuliers d'uniforme continuité (genre uniforme uniformité si je puis dire...)
Reprenez les définitions brutes, vous verrez, je ne peux pas tout réécrire.
Il n'y a pas d'histoire de dimension non plus: E est un simple ensemble muni d'une distance ( rien de plus sauf qu'il est compact pour la topologie induite par d).
Si j'étais vous, je zoomerais sur les notions de base qui semblent chancelantes:
_ distance, propriétés, boules, voisinages
_ fermés, ouverts, adhérence, intérieur, extérieur, frontière
_ densité, séparabilité
_ suites convergentes, suites de Cauchy
_ continuité, continuité uniforme
Par la suite les notions de compacité, connexité
La topologie générale permet d'avoir une plus grande hauteur de vue, en dégageant l'essentiel, je ne sais pas si c'est à votre étude.
Pour résumer, reprenez de près les définitions, tout semble assez flou.
Bonne soirée
A.
- tilda
- 22-12-2023 19:17:17
Je parle de (x_{phi(n)}) , et c'est le même espace (E,d) on a juste rappeler l'espace ExE muni de sa distance d'.
Sinon , vous avez dit que : "f est donc (uniformément) continue." pourquoi uniformément ? dans ce cas elle est juste 1-lipschitz , on n'a pas l'équivalence entre uniformément et lipschitzienne dans un espace de dimension quelconque , n'est ce pas ?
- bridgslam
- 22-12-2023 11:52:25
Telle quelle votre assertion ne signifie rien.
Il faut préciser: de quelles suites parlez-vous? Et dans quel espace ( il y en a deux au début de votre exo) ?
A.
- tilda
- 22-12-2023 11:16:46
On a la convergence de suites dans ce cas
- bridgslam
- 22-12-2023 11:11:32
Bonjour,
Ok cest pénible de glaner constamment les informations, et chaque fois ou souvent les plus essentielles.
f est donc (uniformément) continue.
Que pouvez-vous en déduire côté convergence de suites?
Bonne journée
A.
- tilda
- 22-12-2023 10:49:14
Bonjour
f : E → E une application vérifiant
d(f(x), f(y)) < d(x, y) pour tout (x, y) ∈ ExE , x différent de y.
Merci bien
- bridgslam
- 19-12-2023 13:18:00
Bonjour,
Toujours pareil, quelle est f, une application quelconque ? Aucune hypothèse oubliée ?
Qu'avez-vous fait ?
Le problème est qu'on ne peut (et doit) pas faire le problème à vôtre place, tout au plus donner des indications ou mises sur la voie.
Il faut préciser a minima vos tentatives... vos idées etc.
A.
- tilda
- 19-12-2023 12:21:12
D'accord Bridgslam , je ferai mon mieux de vos conseils , merci énormément.
Moi , je suis en L3.
En ce qui concerne ma question est la suivante : $x_n=f^{n}(x_0)$ $x_0 \in E$ quelconque
et j'ai $x_{phi(n)}$ tend vers x (une suite extraite de $(x_n)$)
pourquoi est-ce que $x_{phi(n)+1}$ tend vers f(x) ?
en donnant comme remarque dans le problème que $(x_{phi(n)+1})$ n'est pas une suite extraite de $x_{phi(n)}$
Merci beaucoup.
- bridgslam
- 19-12-2023 12:11:42
Bonjour,
Vous pouvez poster toutes les questions que vous voulez, c'est un forum, si ce n'est pas moi qui y répond, ce sera certainement quelqu'un d'autre.
Vos questions semblent graviter principalement autour de la topologie, des contributeurs ici y sont extrêmement compétents.
Quel est vôtre niveau d'étude, si ce n'est pas indiscret ?
Quelques règles à respecter bien-sûr : énoncés clairs, sans omettre des hypothèses, montrer vos tentatives ou vos idées ...
Il semble qu'à chaque articulation ou étapes des raisonnements il faille pratiquement tout vous écrire, et qu'il y a de nombreux non-sens ou confusions exprimés.
Donc une première démarche personnelle est de revoir vos cours (définitions, théorèmes...), puis vis à vis des questions posées tenter de voir des ponts
avec les sujets étudiés en rapport, quelques fois d'autres exercices déjà résolus... qui peuvent constituer des lemmes...
Dîtes-vous toujours que vous avez toujours les moyens de trouver les solutions avec vos connaissances actuelles.
Des démarches actives vis à vis des preuves du cours ( voir pourquoi telle ou telle hypothèse est nécessaire, ou les affaiblir, refaire les preuves soi-même au papier quelques jours plus tard, etc ) sont normalement bénéfiques et font avancer à pas de géant, si on joue le jeu.
Bonne journée
A.
- tilda
- 18-12-2023 21:42:31
D'accord Bridgslam , merci beaucoup pour toute information ! c'est très gentil.
Sinon , j'ai une dernière question concernant ce problème ; pourrais-je la poser si ça vous dérange pas ?