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ugo113

Invité

Calcul de mininum niveau prépa??

Bonjour à tous,

Sans rentrer dans les détails je suis élève en prépa et j'ai un problème avec un exercice de maths que je trouve bien trop difficile et peu guidé, pourriez-vous m'aider le résoudre s'il-vous-plaît ?

L'exercice est composé d'une unique question :

Donner min(lim_x->0[sub]+[/sub]((e^x+ax)^ln(a+1)/x))

où a appartient à [0;+infini]

Merci d'avance pour votre aide

ugo113

Invité

Re : Calcul de mininum niveau prépa??

Edit : il s'agit de la limite quand x tend vers 0 POSITIF

Fred

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Re : Calcul de mininum niveau prépa??

Bonjour,

  Est-ce que je lis bien si je lis
$$\min\left(\lim_{x\to 0^+} (e^x+ax)^{\ln(a+1)/x} \right)$$

J'imagine que c'est le minimum sur $a$. Mais pour $a$ parcourant quel ensemble???
As-tu déjà essayé de calculer la limite par elle-même? Il me semble que c'est tout à fait faisable en effectuant un développement limité.

F.

ugo113

Invité

Re : Calcul de mininum niveau prépa??

Bonjour,

  Est-ce que je lis bien si je lis
$$\min\left(\lim_{x\to 0^+} (e^x+ax)^{\ln(a+1)/x} \right)$$

J'imagine que c'est le minimum sur $a$. Mais pour $a$ parcourant quel ensemble???
As-tu déjà essayé de calculer la limite par elle-même? Il me semble que c'est tout à fait faisable en effectuant un développement limité.

F.

Bonjour Fred,

De ce que j'ai  compris c'est  pour a appartient aux réels positifs.
J'ai  essayé  avec le développement limité mais je suis pas très  fort avec cet outil car on ne la pas encore  vu en classe, je pense donc qu'il doit y avoir un autre moyen.

Merci de ta réponse

Ugo

Fred

Administrateur

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Re : Calcul de mininum niveau prépa??

Re-

  La première chose à faire, c'est d'écrire la puissance à l'aide d'une exponentielle.
Et là, on voit très vite qu'on doit calculer la limite  quand $x\to 0^+$ de
$$\frac{\ln(e^x+ax)}{x}.$$
Avec les DLs, ça prend 10 secondes. Sans cet outil, on peut poser $f(x)=\ln(e^x+ax)$ et reconnaitre un taux d'accroissement :
$$\frac{\ln(e^x+ax)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.$$

F.

Borassus

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Re : Calcul de mininum niveau prépa??

Bonjour Ugo113 et Fred,

Un joli exercice que je proposerai à certains de mes élèves de Terminale !
(Il n'est pas nécessaire d'être en Prépa pour le comprendre et l'apprécier.)

Ugo113, tu dois trouver que le minimum de la limite est atteint pour [tex]a = \frac{1}{e} - 1 \approx -0.632[/tex], ce que me confirme GeoGebra. (a doit être strictement supérieur à -1.)
L'ordonnée de ce minimum est [tex]e^{- \frac{1}{e}} \approx 0.692[/tex]

Bien cordialement

PS : Oups ! Je viens de me rendre compte de l'heure ! Dodo !  :-)

Borassus

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Re : Calcul de mininum niveau prépa??

[...] je suis élève en prépa et j'ai un problème avec un exercice de maths que je trouve bien trop difficile et peu guidé [...]

Bonjour Ugo113 et tout le monde,

Hé oui ! Au lycée on vous tient beauuuuucoup trop par la main, et on ne vous apprend donc pas à marcher...

Bonne journée de fête