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Borassus · 24-12-2023 13:27:10

ugo113 a écrit :

[...] je suis élève en prépa et j'ai un problème avec un exercice de maths que je trouve bien trop difficile et peu guidé [...]

Bonjour Ugo113 et tout le monde,

Hé oui ! Au lycée on vous tient beauuuuucoup trop par la main, et on ne vous apprend donc pas à marcher...

Bonne journée de fête

Borassus · 24-12-2023 02:48:43

Bonjour Ugo113 et Fred,

Un joli exercice que je proposerai à certains de mes élèves de Terminale !
(Il n'est pas nécessaire d'être en Prépa pour le comprendre et l'apprécier.)

Ugo113, tu dois trouver que le minimum de la limite est atteint pour [tex]a = \frac{1}{e} - 1 \approx -0.632[/tex], ce que me confirme GeoGebra. (a doit être strictement supérieur à -1.)
L'ordonnée de ce minimum est [tex]e^{- \frac{1}{e}} \approx 0.692[/tex]

Bien cordialement

PS : Oups ! Je viens de me rendre compte de l'heure ! Dodo ! :-)

Fred · 19-12-2023 17:52:11

Re-

La première chose à faire, c'est d'écrire la puissance à l'aide d'une exponentielle.
Et là, on voit très vite qu'on doit calculer la limite quand $x\to 0^+$ de
$$\frac{\ln(e^x+ax)}{x}.$$
Avec les DLs, ça prend 10 secondes. Sans cet outil, on peut poser $f(x)=\ln(e^x+ax)$ et reconnaitre un taux d'accroissement :
$$\frac{\ln(e^x+ax)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.$$

F.

ugo113 · 19-12-2023 17:47:25

Fred a écrit :

Bonjour,
Est-ce que je lis bien si je lis
$$\min\left(\lim_{x\to 0^+} (e^x+ax)^{\ln(a+1)/x} \right)$$
J'imagine que c'est le minimum sur $a$. Mais pour $a$ parcourant quel ensemble???
As-tu déjà essayé de calculer la limite par elle-même? Il me semble que c'est tout à fait faisable en effectuant un développement limité.
F.

Bonjour Fred,

De ce que j'ai compris c'est pour a appartient aux réels positifs.
J'ai essayé avec le développement limité mais je suis pas très fort avec cet outil car on ne la pas encore vu en classe, je pense donc qu'il doit y avoir un autre moyen.

Merci de ta réponse

Ugo

Fred · 19-12-2023 17:32:14

Bonjour,

Est-ce que je lis bien si je lis
$$\min\left(\lim_{x\to 0^+} (e^x+ax)^{\ln(a+1)/x} \right)$$

J'imagine que c'est le minimum sur $a$. Mais pour $a$ parcourant quel ensemble???
As-tu déjà essayé de calculer la limite par elle-même? Il me semble que c'est tout à fait faisable en effectuant un développement limité.

F.

ugo113 · 19-12-2023 17:00:10

Edit : il s'agit de la limite quand x tend vers 0 POSITIF

ugo113 · 19-12-2023 16:56:54

Bonjour à tous,

Sans rentrer dans les détails je suis élève en prépa et j'ai un problème avec un exercice de maths que je trouve bien trop difficile et peu guidé, pourriez-vous m'aider le résoudre s'il-vous-plaît ?

L'exercice est composé d'une unique question :

Donner min(lim_x->0[sub]+[/sub]((e^x+ax)^ln(a+1)/x))

où a appartient à [0;+infini]

Merci d'avance pour votre aide

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