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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 10-12-2023 13:44:06
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Différentielle définie positive
Bonjour tout le monde.
On prend E un evn de dimension finie.
f:E->E fonction deux fois différentiable en x0 élément de E
on dit que la différentielle est définie positive si $D_2f(x0) (h,h) >0$ pour tout h dans E non nul
est ce que ceci implique qu'il existe b>0 tel que $D_2f(x0) (h,h)>=b ||h||^2$ pour tout h non nul ?
si oui , comment peut-on le démontrer ?
Merci beaucoup
Hors ligne
#2 10-12-2023 16:53:29
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Différentielle définie positive
Bonjour,
C'est vrai et cela vient de la continuité de $h\mapsto D_2f(x_0)(h,h)$.
Cette fonction restreinte à la sphère unité de $E$ admet un minimum (par compacité de la sphère unité)
qui est strictement positif. C'est le $b$ que tu cherches. Pour passer à l'espace tout entier, on raisonne par homogénéité.
F.
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#5 11-12-2023 11:20:18
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Différentielle définie positive
Re-
On se restreint à la sphère unité parce qu'elle est compacte et que ta fonction ne s'annule pas dessus.
Raisonner par homogénéité signifie se ramener à la sphère unité. Si tu as $h\in\mathbb R^n$ non nul,
tu peux considérer $h_0=h/\|h\|$ et observer qu'il est dans la sphère unité.
F.
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#7 12-12-2023 09:11:42
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Différentielle définie positive
Bonjour,
Une forme quadratique sur un evn de dimension finie est toujours continue (tout polynôme en les coordonnées est continu).
Hors ligne
#9 12-12-2023 18:22:02
- Glozi
- Invité
Re : Différentielle définie positive
Bonsoir,
Sans restriction on suppose $E=\mathbb{R}^n$.
Je sais pas si c'est ce que tu cherches, mais si ta fonction est $\mathcal{C}^2$ alors tu peux utiliser le théorème de Schwarz pour dire que la Hessienne $A=D_2f(x_0)\in M_n(\mathbb{R})$ est symétrique ($A^T=A$). Ta condition dit que $h^TAh>0$ si $h\neq 0$, il suffit d'appliquer le théorème spectral pour conclure.
(ça ne vaut pas l'argument simple de Fred qui vaut même pour les fonctions non $\mathcal{C}^2$).
Bonne soirée
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