Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,
Sans restriction on suppose $E=\mathbb{R}^n$.
Je sais pas si c'est ce que tu cherches, mais si ta fonction est $\mathcal{C}^2$ alors tu peux utiliser le théorème de Schwarz pour dire que la Hessienne $A=D_2f(x_0)\in M_n(\mathbb{R})$ est symétrique ($A^T=A$). Ta condition dit que $h^TAh>0$ si $h\neq 0$, il suffit d'appliquer le théorème spectral pour conclure.
(ça ne vaut pas l'argument simple de Fred qui vaut même pour les fonctions non $\mathcal{C}^2$).
Bonne soirée

Bonjour,
Une forme quadratique sur un evn de dimension finie est toujours continue (tout polynôme en les coordonnées est continu).

Re-

  On se restreint à la sphère unité parce qu'elle est compacte et que ta fonction ne s'annule pas dessus.
Raisonner par homogénéité signifie se ramener à la sphère unité. Si tu as $h\in\mathbb R^n$ non nul,
tu peux considérer $h_0=h/\|h\|$ et observer qu'il est dans la sphère unité.

F.

Pourquoi on se restreint à la sphère unité ?

Bonjour tout le monde.

On prend E un evn de dimension finie.
f:E->E fonction deux fois différentiable en x0 élément de E
on dit que la différentielle est définie positive  si $D_2f(x0) (h,h) >0$ pour tout h dans E non nul
est ce que ceci implique qu'il existe b>0 tel que $D_2f(x0) (h,h)>=b ||h||^2$ pour tout h non nul ?

si oui , comment peut-on le démontrer ?

Merci beaucoup