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Hibou11

Invité

Espaces Lp.

Bonjour,

Soit [tex]L^p[/tex] l’espace vectoriel de classes des fonctions dont la puissance d'exposant [tex]p[/tex] est intégrable au sens de Lebesgue, où [tex]p[/tex] est un nombre réel strictement positif.

D’après mon cours, [tex]L^2 \subset L^1[/tex].

Est ce que, pour tout [tex]f \in L^2[/tex],  [tex]||f||_2 \leq ||f||_1[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Messages : 7 352

Re : Espaces Lp.

Bonjour,

  La notation $L^p$ n'a pas de signification par elle-même. Elle doit toujours être associé à l'intervalle (si on travaille sur $\mathbb R$) ou à l'espace mesuré sur lequel on travaille. Par exemple, il est faux que $L^2(\mathbb R)\subset\mathbb L^1(\mathbb R)$ ou que $L^1(\mathbb R)\subset L^2(\mathbb R)$.

Il est aussi faux que $L^2([0,1])\subset L^1([0,1])$ mais l'inclusion  réciproque est vraie. Pour cela on peut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz en écrivant $|f|=|f|\times 1.$

En revanche, si ton espace mesuré est $\mathbb N$ avec la mesure de comptage, alors on a $\ell^2(\mathbb N)\subset\ell^1(\mathbb N)$.

F.