Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bernard-maths

Membre Expert

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Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

4 points pour une jolie figure ...

Bonjour à tous !

Un gadget pour les quatrièmes ... et les plus grands.

Vous prenez 4 points quelconques dans l'espace, formant un quadrilatère ABCD, aussi tordu que vous pouvez ...

Vous placez les milieux I, J, K et L des 4 segments [AB], [BC], [CD] et[DA] ...

Vous dessinez le quadrilatère IJKL, qu'en pensez vous ? (Démontrez le)

B-m

Glozi

Invité

Re : 4 points pour une jolie figure ...

Bonjour !

▼proposition

Je dirais que IJKL est un parallélogramme. Pour le voir on applique la réciproque du théorème de Thalès afin de montrer que chacun des côtés de IJKL est parallèle à l'une des des deux diagonales de ABCD. Plus précisément (IJ)//(AC)//(KL) et (JK)//(BD)//(LI).

Bonne journée :)

Dalal

Membre

Inscription : 14-09-2023

Messages : 57

Re : 4 points pour une jolie figure ...

Bonjour,

Je crois que c'est le théorème de Varignon et du coup on obtient un parallélogramme.

On trace un quadrilatère quelconque ABCD et les milieux I,J,K,L de ses quatre côtés, on démontre que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.

Explications :

On complète la figure en traçant les diagonales [AC] et [BD] de ABCD. On applique ensuite le théorème des milieux.

Dans le triangle ABC, I et J étant les milieux respectifs de [BA] et [BC], nous pouvons, grâce au théorème des milieux, affirmer que :

les droites (IJ) et (AC) sont parallèles ;
AC = 2 x IJ.
Dans le triangle ADC, L et K étant les milieux respectifs de [DA] et [DC], Par conséquent :

les droites (LK) et (AC) sont parallèles ;
AC = 2 x LK.
De ce qui précède, il vient que :

les droites (IJ) et (LK) sont parallèles ;
IJ = LK.
Ce qui achève de démontrer que IJKL est un parallélogramme.

(Je sais ma réponse est un petit peu tardif...)

Bonne journée,

Dernière modification par Dalal (17-09-2023 08:53:01)