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AUPLAT

Invité

Involutions à k points fixes

Bonjour,
pour n un entier, on choisit au hasard une involution d'un ensemble [|1,n|] et pour k dans [|0,n|] on note P_k l'événement : "l'involution choisie a k points fixes."
Je dois calculer la proba P(P_k), mais je bloque (en tous cas avec mes connaissances actuelles). En cherchant j'ai trouvé une résolution utilisant le nombre de Stirling du deuxième type, mais ne sachant pas exactement de quoi il s'agit j'aimerais savoir s'il existe une résolution n'utilisant pas ce nombre.
Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Involutions à k points fixes

Bonjour,
Ton problème de probabilité est en fait essentiellement un problème de dénombrement (si ta proba est bien la proba uniforme).
Si $n$ est fixé, notons $\mathcal{I}$ l'ensemble des involutions et pour $0\leq k\leq n$, $\mathcal{I}_k$ l'ensemble des involutions avec exactement $k$ points fixes.
Il s'agit de calculer $\text{card}(\mathcal{I}_k)/ \text{card}(\mathcal{I})$.

Pour calculer le cardinal de $\mathcal{I}_k$,
on veut construire une involution $f$ avec $k$ points fixes, déjà cela n'est possible que si $n$ et $k$ ont la même parité (exercice).
Ensuite si $n$ et $k$ ont bien la même partité, alors on peut procéder ainsi :
- choisir les $k$ points fixe de $f$ parmi $n$.
- parmi les $n-k$ points restants, il faut choisir pour commencer $2$ points qui seront intervertis par $f$
- puis parmi les $n-k-2$ points restants, il faut encore choisir $2$ points qui seront intervertis par $f$.
- etc...
Attention en faisant cela on compte plusieurs fois la même involution (combien de fois chaque involution est-elle comptée ?).

Si tu fais ça tu obtiendras une formule mais elle est moche. (peut-être qu'il y a un rapport avec les nombre de Stirling mais je ne suis pas familier avec ces  nombres...)

Bonne journée