Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Ton problème de probabilité est en fait essentiellement un problème de dénombrement (si ta proba est bien la proba uniforme).
Si $n$ est fixé, notons $\mathcal{I}$ l'ensemble des involutions et pour $0\leq k\leq n$, $\mathcal{I}_k$ l'ensemble des involutions avec exactement $k$ points fixes.
Il s'agit de calculer $\text{card}(\mathcal{I}_k)/ \text{card}(\mathcal{I})$.

Pour calculer le cardinal de $\mathcal{I}_k$,
on veut construire une involution $f$ avec $k$ points fixes, déjà cela n'est possible que si $n$ et $k$ ont la même parité (exercice).
Ensuite si $n$ et $k$ ont bien la même partité, alors on peut procéder ainsi :
- choisir les $k$ points fixe de $f$ parmi $n$.
- parmi les $n-k$ points restants, il faut choisir pour commencer $2$ points qui seront intervertis par $f$
- puis parmi les $n-k-2$ points restants, il faut encore choisir $2$ points qui seront intervertis par $f$.
- etc...
Attention en faisant cela on compte plusieurs fois la même involution (combien de fois chaque involution est-elle comptée ?).

Si tu fais ça tu obtiendras une formule mais elle est moche. (peut-être qu'il y a un rapport avec les nombre de Stirling mais je ne suis pas familier avec ces  nombres...)

Bonne journée