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maria DI silva

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convergence

Bonjour est ce que si une suite $u_{n}$ converge vers u  dans $ L^{2}(\Omega) $ alors la dérivée de$ u_{n}$ converge vers dérivée de u dans $ L^{2}(\Omega)$?
merci

Fred

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Re : convergence

Bonjour

  Non! D'abord dans les espaces que tu considères tes fonctions n'ont pas de raison d'être derivables et même si c'est le cas ce n'est pas vrai. Tu devrais plutôt t'intéresser à la convergence dans les espaces de Sobolev.

F.

maria DI silva

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Re : convergence

merci donc je peux utiliser théoréme de convergence dominée
car moi j'ai cette suite
$\eta_{\epsilon}(u)=.\sqrt{\epsilon^{2}+ u^{2}}-\epsilon$ if $u\ge 0$ et eégal à $0$ isi $u\le 0$ alors elle coverge vers  $u^{+}$ dans $L^{2}(\Omega)$ avec $u \in H^{1}(\Omega)$

and  $\nabla \eta_{\epsilon}(u)\chi_{u>0} converge vers \nabla u$ in $L^{2}(\Omega)$

moi je propose  :
$\lvert \eta_{\epsilon}(u)\rvert \le \vert u\rvert $ car  $\sqrt{\epsilon^{2}+ u^{2}}\le \vert u+ \epsilon \rvert$  donc $\eta_{\epsilon}(u)$ converge vers  $u^{+}$ dans
$L^{2}(\Omega)$
et $\lvert \nabla \eta_{\epsilon}(u)\rvert \le \lvert \nabla u\rvert $

aprés je conclut en disant que la convergence dans $L^{2}$ implique convergence au sens des distributions
c'est juste?

Dernière modification par maria DI silva (08-08-2023 10:55:59)