Forum de mathématiques - Bibm@th.net

MAA

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Problème stationnaire : solutions faibles

[tex]Bonjour\;je \; n'arrive\;pas\;a\;comprendre\;pourquoi\;\\ \nabla b(u)=0 \quad p.p\;dans\; O=\{x\in\Omega\quad ; b(u(x))\in E\}\\ Avec \\b:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \;continue\;croissante\;et\;telle\;que\;b(0)=0,\\ \Omega\;un\;domaine\;borné \;de\;\mathbb{R}^{N}\;et\;lipschitzien\;de\;bord\;\Gamma\\
E=\{r\in\mathbb{R};\;b_{0}^{-1}\;est\;discontinue\;en\;r\}\\
avec\;b_{0}^{-1}=min\{b^{-1}(x)\}\\
merci\;[/tex]

yoshi

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Re : Problème stationnaire : solutions faibles

Bonjour,

Déjà oublié ? La flemme ? Rien à f.... ?
cf :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16162

      Yoshi
- Modérateur -

MAA

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Re : Problème stationnaire : solutions faibles

Non je n’ai pas oublié et j’attends toujours vos différentes propositions(ou des pistes pour la résolution). Merci d’avance !!

Roro

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Re : Problème stationnaire : solutions faibles

Bonsoir,

Je pourrais faire un copier-coller de ce qu'a écrit Yoshi :
- J'avais demandé des précisions sur ce que tu avais fais et tu n'as pas répondu. On ne fera pas le boulot à ta place !
- J'avais aussi demandé des précisions sur l'énoncé qui n'était pas complet et tu n'as rien dit qui permette de faire avancer la question.

Ici, c'est exactement la même chose : qu'as-tu fais ? et quelle est le vrai énoncé ???

Roro.

MAA

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Re : Problème stationnaire : solutions faibles

Bonsoir,
d’abord je tiens à vous remercier pour tout l’intérêt que vous porter à mes publications et je m’excuse pour tout.
Pour le premier exercice j’ai trouvé la solution.
Celui que j’ai publié aujourd’hui je l’ai rencontré dans la preuve d’un lemme dans un article qui traite des solutions faibles et entropiques du problème suivant

$S(b,F,f)
\begin{cases}
u-\Delta b(u)+divF(u)=f & dans\; \Omega\\
b(u)=0 & sur \;\Gamma
\end{cases}$

Dernière modification par MAA (18-06-2023 22:54:47)

Roro

Membre expert

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Re : Problème stationnaire : solutions faibles

Bonjour,

Lorsque tu trouves la solution d'une question que tu as posée, ce serait aimable de nous le dire, et éventuellement d'indiquer comment tu l'as résolu. Ca pourrait aider d'autres personnes.

Concernant la question posée ici, je veux bien comprendre qu'il s'agit de solution faible entropie mais ça ne précise pas vraiment ta question. Par exemple, quand tu écris $b_0^{-1}=min\{b^{-1}(x)\}$, que veux-tu dire ? $b_0$ serait-il un nombre réel ?

Roro.

MAA

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Re : Problème stationnaire : solutions faibles

Bonjour ok c’est compris.
Ils ont juste posé ainsi dans l’article. Mais je vois [tex]b_{0}[/tex] comme une fonction de variables réelles

Glozi

Invité

Re : Problème stationnaire : solutions faibles

Bonsoir,

Je ne comprends pas qui est $u$ ? J'imagine qu'il s'agit d'une fonction $u : \Omega \to \mathbb{R}$ mais qu'est ce qu'on sait dessus ? $u$ est $\mathcal{C}^1$ ou un truc du genre ?

Je ne comprends pas ce que signifie $\nabla b(u)=0$ pp dans $O=\{x\in \Omega | b(u(x))\in E\}$. Est-ce qu'on parle de presque partout au sens de la mesure de Lebesgue ? Si oui, qu'est ce que ça veut dire "presque partout dans un ensemble" ? Ça veut dire $Leb(O \cap \{x | \nabla(b(u(x))=0\})=Leb(O)$ ? Dans ce cas il faudrait voir pourquoi  $O$ est mesurable ? Bon le fait que $O$ est mesurable est facile pourvu que $b\circ u$ soit mesurable et que $E$ soit mesurable. Comme $b$ est continue croissante alors $E$ est au plus dénombrable donc il n'y a pas trop de soucis modulo la régularité de $u$...

Ensuite je ne suis pas sur de savoir ce que c'est que $\nabla b(u)$ sachant que $b$ est seulement supposée continue et qu'on n'a aucune information sur $u$...

M'enfin bref, ça aurait été pas mal de se demander exactement ce qu'on cherche à faire et pourquoi cela fait sens...
Aussi si l'article est en libre accès tu devrais poster le lien arxiv ou autre qu'on se fasse on idée.

Sinon un exemple en dimension $1$, on pose $\Omega = ]-2,2[$ et $b(x)=x$ si $x<0$, $b(x)=0$ si $x\in [0,1]$ et $b(x)=x-1$ si $x>1$.
Alors $b$ est continue croissante.
On a $b^{-1}(r)= r$ si $r<0$ $b^{-1}(0)=0$ et $b^{-1}(r)=r+1$ si $r>0$. Ainsi $E=\{0\}$.
Maintenant on prend par exemple $u : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto x$, alors $O=\{x\in \Omega, b(u(x))=0\} = [0,1]$.
Maintenant si $x\in ]0,1[$ alors $\nabla b(u(x))=0$ ainsi $Leb(O\cap \{x, b(u(x))=0\})=Leb(O)=1$.

Pour moi, l'idée c'est que si $b^{-1}$ admet une discontinuité en $r$ alors il existe un intervalle non trivial sur-lequel $b$ va être constant égal à $r$ et donc le gradient de $b$ est nul sur l'intérieur de cet intervalle.

Après, sans réponse aux demandes de précisions de la part de Roro,difficile de savoir si cet exemple illustre ton problème.

Bonne soirée

MAA

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Re : Problème stationnaire : solutions faibles

Bonsoir
En fait voici le lemme en question
lemme 1.1 soit [tex]f[/tex] une fonction de [tex]L^{1}(\Omega)[/tex]; [tex]u[/tex] une solution faible du [tex](S(b,F,f))[/tex]. Alors
[tex]\int_{\Omega}sign_{0}^{+}(u-z)\{(u-f)\xi+[a(\nabla b(u),b(u))-a(\nabla b(z),b(z))]\cdot\nabla \xi\}\leq\int_{\Omega}sign_{0}^{+}(u-z)\nabla\cdot a(\nabla b(z),b(z))\xi[/tex]
Pour tout [tex](z,\xi)\in L^{\infty}(\Omega)\times(H^{1}\cap L^{\infty}(\Omega)[/tex], telle que [tex]\xi\geq 0, b(z)\in H^{1}(\Omega),b(z)\;n’appartenant \;pas \;à \;E \;p.p \;dans\; \Omega, \nabla\cdot a(\nabla b(z),b(z)) \in L^{1}(\Omega) \;et\; (b(u)-b(z))^{+}\cdot\xi=0\;sur\;\Gamma.[/tex]
[tex]
sign_{0}^{+}(s)=[/tex]
[tex]\begin{cases}
1\; &si\; &s>0\\
0\; &si\; &s\leq0,
\end{cases}[/tex]
[tex]a(\xi,s)=\xi-F(s), \forall \xi \in \mathbb{R}^{N},s \in \mathbb{R}[/tex]