Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Je ne comprends pas qui est $u$ ? J'imagine qu'il s'agit d'une fonction $u : \Omega \to \mathbb{R}$ mais qu'est ce qu'on sait dessus ? $u$ est $\mathcal{C}^1$ ou un truc du genre ?

Je ne comprends pas ce que signifie $\nabla b(u)=0$ pp dans $O=\{x\in \Omega | b(u(x))\in E\}$. Est-ce qu'on parle de presque partout au sens de la mesure de Lebesgue ? Si oui, qu'est ce que ça veut dire "presque partout dans un ensemble" ? Ça veut dire $Leb(O \cap \{x | \nabla(b(u(x))=0\})=Leb(O)$ ? Dans ce cas il faudrait voir pourquoi  $O$ est mesurable ? Bon le fait que $O$ est mesurable est facile pourvu que $b\circ u$ soit mesurable et que $E$ soit mesurable. Comme $b$ est continue croissante alors $E$ est au plus dénombrable donc il n'y a pas trop de soucis modulo la régularité de $u$...

Ensuite je ne suis pas sur de savoir ce que c'est que $\nabla b(u)$ sachant que $b$ est seulement supposée continue et qu'on n'a aucune information sur $u$...

M'enfin bref, ça aurait été pas mal de se demander exactement ce qu'on cherche à faire et pourquoi cela fait sens...
Aussi si l'article est en libre accès tu devrais poster le lien arxiv ou autre qu'on se fasse on idée.

Sinon un exemple en dimension $1$, on pose $\Omega = ]-2,2[$ et $b(x)=x$ si $x<0$, $b(x)=0$ si $x\in [0,1]$ et $b(x)=x-1$ si $x>1$.
Alors $b$ est continue croissante.
On a $b^{-1}(r)= r$ si $r<0$ $b^{-1}(0)=0$ et $b^{-1}(r)=r+1$ si $r>0$. Ainsi $E=\{0\}$.
Maintenant on prend par exemple $u : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto x$, alors $O=\{x\in \Omega, b(u(x))=0\} = [0,1]$.
Maintenant si $x\in ]0,1[$ alors $\nabla b(u(x))=0$ ainsi $Leb(O\cap \{x, b(u(x))=0\})=Leb(O)=1$.

Pour moi, l'idée c'est que si $b^{-1}$ admet une discontinuité en $r$ alors il existe un intervalle non trivial sur-lequel $b$ va être constant égal à $r$ et donc le gradient de $b$ est nul sur l'intérieur de cet intervalle.

Après, sans réponse aux demandes de précisions de la part de Roro,difficile de savoir si cet exemple illustre ton problème.

Bonne soirée

Bonjour,

Lorsque tu trouves la solution d'une question que tu as posée, ce serait aimable de nous le dire, et éventuellement d'indiquer comment tu l'as résolu. Ca pourrait aider d'autres personnes.

Concernant la question posée ici, je veux bien comprendre qu'il s'agit de solution faible entropie mais ça ne précise pas vraiment ta question. Par exemple, quand tu écris $b_0^{-1}=min\{b^{-1}(x)\}$, que veux-tu dire ? $b_0$ serait-il un nombre réel ?

Roro.

Bonsoir,

Je pourrais faire un copier-coller de ce qu'a écrit Yoshi :
- J'avais demandé des précisions sur ce que tu avais fais et tu n'as pas répondu. On ne fera pas le boulot à ta place !
- J'avais aussi demandé des précisions sur l'énoncé qui n'était pas complet et tu n'as rien dit qui permette de faire avancer la question.

Ici, c'est exactement la même chose : qu'as-tu fais ? et quelle est le vrai énoncé ???

Roro.

Bonjour,

Déjà oublié ? La flemme ? Rien à f.... ?
cf :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16162

      Yoshi
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