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Lmoing

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Totient de Jordan

Bonjour,
Quelqu'un peut-il justifier les valeurs des premières valeurs de J2, qui sont:

A007434 Jordan fonction J2(n) :
1, 3, 8, 12

Donc expliquer, en dénombrant les k-uplets, pourquoi J2(2)=3, et J2(3)=8 notamment.

La définition me semble également bizarre:

la fonction totient de Jordan est définie comme suit :
Jk(n) d'un entier positif n est égal au nombre de k tuples d'entiers positifs inférieurs ou égaux à n et qui, avec n, forment un ensemble premier de k +1 entiers.

Ce qui me semble étrange:

- pourquoi "less than OR eQUAL": si on accepte "n" dans le k -uplet sachant qu'on ajoute "n" au k-uplet pour former un k +1 uplet,
   il ne sera jamais possible d'obtenir un k + 1 uplet dans lequel les nombres sont premiers 2 a  2
Merci

Glozi

Invité

Re : Totient de Jordan

Bonjour,
Je ne connaissais pas cette fonction mais de ce que je vois sur wikipédia, on ne cherche pas un $k+1$ uplet avec des nombres 2 à 2 premiers entre eux mais un $k+1$ uplet où le pgcd de tous les éléments vaut $1$.
Par exemple dans le triplet (6,10,15) alors les nombres ne sont pas premiers entre eux 2 à 2, mais $pgcd(6,10,15)=1$.

Vu qu'on regarde $J_2(n)$ on cherche à rajouter une paire de $2$ entiers en plus de $n$.

(en gros on cherche les paire de deux éléments telles que le pgcd de ces deux éléments soit premier avec $n$).
$n=1$ il n'y a pas le choix $(1,1)$ est la seule pair possible
$n=2$ alors il y a le choix $(1,2)$ ou $(1,1)$ ou $(2,1)$ (la paire $(2,2)$ ne marche pas car alors $pgcd(2,2,2)=2\neq 1$).
$n=3$ alors on a comme choix : $(1,1)$, $(1,2)$, $(2,1)$ $(2,2)$, $(1,3)$, $(3,1)$, $(2,3)$, $(3,2)$ il n'y en a pas d'autre. (en fait on prend tout sauf $(3,3)$, cela se généralise à $J_2(p)$ pour un nombre premier $p$).
$n=4$ alors on a comme choix : $(1,1)$, $(1,2)$ $(2,1)$ $(1,3)$, $(3,1)$ $(1,4)$ $(4,1)$
                                                $(3,2)$ $(2,3)$ $(3,3)$ $(3,4)$ et $(4,3)$ il n'y en a pas d'autre.

Bonne journée

Lmoing

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Re : Totient de Jordan

Merci pour cette réponse !