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Roulsoph

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Résolution problème

Bonjour,

Je fais des anales des finales de la ffjm et je coince sur cet exercice :

Dans cette équation, une lettre
représente toujours le même chiffre et
deux lettres différentes représentent
toujours deux chiffres différents.
PEPE + ELLE + FEE = ELFE + ELFE + ELFE
Quel nombre est représenté par
EPFL ?
Note: un nombre de plusieurs chiffres ne
commence pas par 0, la réponse 1306
n'est par exemple pas acceptée.

Pourriez-vous me donner quelques indications s'il vous plait? Sachant qu'il faut trouver toutes les solutions.
J'ai pensé à réécrire l'équation en décomposant par produits de puissances de 10 puis à regarder avec différents modulos mais je n'aboutis pas à grand chose...

Merci beacoup d'avance,
Cordialement,
Roulsoph

Glozi

Invité

Re : Résolution problème

Bonjour,
Ma stratégie n'est dans doute pas la plus efficace, mais elle fonctionne en un temps fini.
- Étape 1 : réduire les valeurs de $E$ possible (en jouant sur le chiffre des milliers).
- Étape 2 : pour chaque valeur de $E$ essayer de réduire les valeurs possibles pour $P$ (2 ou 3 valeurs max) en jouant toujours sur le chiffre des milliers.
- Étape 3 : pour $E$ et $P$ fixés on trouve une équation diophantienne avec deux inconnues $L,F$ (il s'agit de faire attention à respecter la contrainte comme quoi $L$ et $F$ sont entre $1$ et $9$ (sauf $L$ qui peut aussi valoir $0$) et que tous les chiffres sont distincts.

La remarque fondamentale qui fait que ce n'est pas trop affreux c'est que $ELFE$ et $ELLE$ sont deux nombres très proches (en gros il peuvent différer au plus d'une centaine).

Mais il y a surement plus malin...

▼exemple du début de ma méthode

Remarque 1 : $-80 \leq ELFE - ELLE = 10\times(F-L) \leq 90$
Remarque 2: En regardant le chiffres des milliers on voit facilement que $1\leq E\leq 5$.
Remarque 3 : On a toujours $P\in \{2E-1,2E,2E+1\}$.
En effet, $PEPE + FEE = 2\times ELFE + (ELFE-ELLE)$.
Pour avoir $P\geq 2E+2$, il faut que $2\times LFE + (ELFE-ELLE)\geq 2000$ puisque $ELFE-ELLE \leq 90$ il faut $L=9$ (pour avoir $LFE$ proche de $900$) mais alors $ELFE-ELLE<0$ et donc ça ne fonctionne pas.
Pour avoir $P\leq 2E-2$, il faut $LFE + (ELFE-ELLE)<0$ donc $LFE<80$ par la remarque 1. Donc $L=0$, mais alors $ELFE-ELLE >0$ ça ne marche pas.
Remarque 4 :
Si $E=5$, alors $PEPE+FEE \geq 2 \times ELFE +(ELFE-ELLE)$
On en déduit que $PEPE + FEE \geq 10000$ (en distinguant $L=0$ ou non et en utilisant le remarque $1$).
Forcément $P=9$.
On a alors $9595+100\times F +55 = 2\times 5005 + 200\times L +20\times F + 10\times F -10\times L$
Soit : $7\times F = 36+19\times L$ dont on vérifie aisément qu'il n'y a pas de solution qui nous convienne (tester $L=0,1,2,3$)

Finalement avec la remarque 2 et 4 on voit que $1\leq E\leq 4$.

Résolution dans le cas $E=1$.
Par la remarque 3 $P\in \{2,3\}$ (aussi car $P\neq E$).
Si $P=3$ alors on a $3131 + 100\times F + 11 = 2002 +200\times L+20\times F+10\times F-10\times L$
Soit $114 +7\times F = 19 \times L$
on retrouve ta solution EPFL =1306 qui n'en n'est pas une, il n'y en pas d'autres pour $P=3$.
Maintenant si $P=2$. On tombe sur $2121+100\times F+11= 2002 + 200\times L+ 30\times F -10\times L$ d'où $13 +7\times F=19\times L$, en prenant modulo $7$ on voit que $5L = -1 [7]$ donc $L = 4[7]$, on teste $L=4$ qui donne $F=9$. Une solution est bien donnée par $EPFL = 1294$.

Pour la suite j'ai utilisé une calculatrice (par flemme de tout faire à la main, mais normalement tout est faisable sur papier).
Maintenant $E=2$, on voit (remarque 3) que $P\in \{3,4,5\}$ on ne trouve pas de solution si je ne me suis pas planté.
Si $E=3$ alors $P\in \{5,6,7\}$ on trouve $EPFL = 3685$
Si $E=4$ alors $P\in \{7,8,9\}$, on trouve $EPFL = 4770$ qui n'est pas une solution puisque deux chiffres sont égaux.

Bonne journée

Wiwaxia

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Re : Résolution problème

Bonjour,

J'ai trouvé 3 solutions.

▼Texte caché

La recherche des solutions peut se réduire à celles de l'équation:

1110 * P + 70 * F = 1890 * E + 190 * L .

Un balayage de toutes les combinaisons possibles (incluant le zéro pour l'entier L, jamais situé à l'extrême-gauche d'une séquence de chiffres) conduit aux résultats suivants:

Ils correspondent respectivement aux valeurs: 3 * ELFE = 4473, 10749 et 12222 .

Le recours à 4 boucles imbriquées est un peu grossier, mais cependant très rapide dans le cas envisagé.
L'algorithme peut être abrégé en calculant le dernier terme à partir des 3 autres.         

Dernière modification par Wiwaxia (21-04-2023 11:37:52)

Roulsoph

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Re : Résolution problème

Bonjour,
Merci beaucoup à vous deux.
Wiwaxia, d'après le corrigé sur le site, il n'y a que deux solutions qui ne figurent pas parmi les tiennes...

Bonne journée

Wiwaxia

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Re : Résolution problème

... Wiwaxia, d'après le corrigé sur le site, il n'y a que deux solutions qui ne figurent pas parmi les tiennes...

L'équation initiale PEPE + ELLE + FEE = 3 * ELFE a été vérifiée dans les 3 cas:

<2121> + <1441> + <911> = 3 * <1491> =   4473
<6363> + <3553> + <833> = 3 * <3583> = 10749
<7474> + <4004> + <744> = 3 * <4074> = 12222

La dernière solution a peut-être été rejetée comme non conforme à l'énoncé ... Quelles sont les deux autres données par le corrigé ?
Il est vrai que l'affichage n'est pas très explicite, et que je n'ai pas répondu exactement à la question posée:

Quel nombre est représenté par EPFL ?

<EPFL> = 1294 _ 3685 _ 4770 .

Roulsoph

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Re : Résolution problème

Ah oui pardon, je suis bête, j'ai comparé tes réponses pour ELFE au lieu de EPFL !
Merci beaucoup !
Je vais reprendre ce que j'ai fait alors !