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Remarque 1 : $-80 \leq ELFE - ELLE = 10\times(F-L) \leq 90$
Remarque 2: En regardant le chiffres des milliers on voit facilement que $1\leq E\leq 5$.
Remarque 3 : On a toujours $P\in \{2E-1,2E,2E+1\}$.
En effet, $PEPE + FEE = 2\times ELFE + (ELFE-ELLE)$.
Pour avoir $P\geq 2E+2$, il faut que $2\times LFE + (ELFE-ELLE)\geq 2000$ puisque $ELFE-ELLE \leq 90$ il faut $L=9$ (pour avoir $LFE$ proche de $900$) mais alors $ELFE-ELLE<0$ et donc ça ne fonctionne pas.
Pour avoir $P\leq 2E-2$, il faut $LFE + (ELFE-ELLE)<0$ donc $LFE<80$ par la remarque 1. Donc $L=0$, mais alors $ELFE-ELLE >0$ ça ne marche pas.
Remarque 4 :
Si $E=5$, alors $PEPE+FEE \geq 2 \times ELFE +(ELFE-ELLE)$
On en déduit que $PEPE + FEE \geq 10000$ (en distinguant $L=0$ ou non et en utilisant le remarque $1$).
Forcément $P=9$.
On a alors $9595+100\times F +55 = 2\times 5005 + 200\times L +20\times F + 10\times F -10\times L$
Soit : $7\times F = 36+19\times L$ dont on vérifie aisément qu'il n'y a pas de solution qui nous convienne (tester $L=0,1,2,3$)

Finalement avec la remarque 2 et 4 on voit que $1\leq E\leq 4$.

Résolution dans le cas $E=1$.
Par la remarque 3 $P\in \{2,3\}$ (aussi car $P\neq E$).
Si $P=3$ alors on a $3131 + 100\times F + 11 = 2002 +200\times L+20\times F+10\times F-10\times L$
Soit $114 +7\times F = 19 \times L$
on retrouve ta solution EPFL =1306 qui n'en n'est pas une, il n'y en pas d'autres pour $P=3$.
Maintenant si $P=2$. On tombe sur $2121+100\times F+11= 2002 + 200\times L+ 30\times F -10\times L$ d'où $13 +7\times F=19\times L$, en prenant modulo $7$ on voit que $5L = -1 [7]$ donc $L = 4[7]$, on teste $L=4$ qui donne $F=9$. Une solution est bien donnée par $EPFL = 1294$.

Pour la suite j'ai utilisé une calculatrice (par flemme de tout faire à la main, mais normalement tout est faisable sur papier).
Maintenant $E=2$, on voit (remarque 3) que $P\in \{3,4,5\}$ on ne trouve pas de solution si je ne me suis pas planté.
Si $E=3$ alors $P\in \{5,6,7\}$ on trouve $EPFL = 3685$
Si $E=4$ alors $P\in \{7,8,9\}$, on trouve $EPFL = 4770$ qui n'est pas une solution puisque deux chiffres sont égaux.