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Vincent62

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Relation de Chasles

Bonjour,

Je considère le parallélogramme ABCD, I=mil[AB], J=mil[AD], [tex]I'=(BD)\cap (IC)[/tex] et [tex]J'=(CJ)\cap (BD)[/tex].
J'essaye, sans succès, de montrer vectoriellement, en utilisant les relations de Chasles donc, que [tex]\vec{DJ'}=\frac{1}{3}\vec{DB}[/tex].

J'ai tout essayé : théorème des milieux dans ADB en considérant les milieux I et J, puis en considérant les milieux M et I. Je ne trouve pas le bon point de départ.

Pouvez-vous me donner une indication ? Merci !

Voici la figure : https://zupimages.net/viewer.php?id=23/07/r5dr.png

Matou

Invité

Re : Relation de Chasles

Bonjour,

Je considérerais le point N intersection de $[AM]$ et $[IJ]$.
On a $\vec{CM} = \frac{2}{3} \vec{CN}$.

Considère la droite qui passe par les points $I$ et $J$.

Avec Thalès, exprime $\vec{DJ'}$ en fonction de $\vec{DJ}$.

Ensuite, en considérant la droite $[NJ']$ qui coupe $[CD]$ en $J_1$, j'obtiens une relation entre $\vec{DJ'}$ et $\vec{DB}$.

Il doit y avoir une voie plus directe,il y a bien longtemps que j'ai fait de la géométrie (et c'est super de s'y remettre).

Bonne journée

Matou

yoshi

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Re : Relation de Chasles

Bonjour,

Si M est le centre du parallélogramme, alors cette discussion n'a pas sa place en Entraide (Supérieur) :
J' centre de gravité du triangle ACD.
$\overrightarrow{DJ'}=\frac 2 3 \overrightarrow{DM}$ et $\overrightarrow{DM}=\frac 1 2 \overrightarrow{DB}$
etc...

N-B
On montrerait de même que $\overrightarrow{BI'}=\frac 1 3 \overrightarrow{BD}$...

@+

Vincent62

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Re : Relation de Chasles

Bonjour,

Désolé, oubli de ma part : M=mil[BD].

Merci Matou, je vais essayer comme ça.
Yoshi : je suis passé à côté :)

Vincent62

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Re : Relation de Chasles

Merci à vous deux, ça marche très bien en effet.

Question subsidiaire. Je comprends bien que J' est le centre de gravité du triangle, et donc l'isobarycentre des points A, C et D, et donc que J'A+J'C+J'D=0 (relation vectorielle). Comment démontre-t-on que J', en tant que point d'intersection des médianes du triangle ACD, vérifie bien cette relation vectorielle ? En utilisant le théorème de Thalès, pour obtenir ce fameux coefficient 2/3, puis en réinjectant dans J'A+J'C+J'D (en termes de vecteurs) pour obtenir le vecteur nul ?

Je vais essayer.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Relation de Chasles

B'jour,

Plusieurs méthodes.
En voilà une inspirée d'un DM que j'avais donné en DM à des 3e (il y a looonnng....temps !)

On considère un triangle ABC quelconque. M, N et P sont les milieux respectifs des côtés [BC], AB] et [AC]. Tracer les 3 médianes : elles se coupent en G. Placer le point D tel que M soit le milieu de [GD].
1. Nature du quadrilatère BDCG ?
2  On sait alors que $\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}$.
3. Tu sais déjà que  $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0$ (isobarycentre).
    Tu en déduis facilement que $-\overrightarrow{GA} =\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$

@+

Vincent62

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Re : Relation de Chasles

Très bien, je regarde ça yoshi, merci !

Dernière modification par Vincent62 (16-02-2023 13:35:41)

Vincent62

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Re : Relation de Chasles

Bon, j'arrive effectivement à [tex]\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GM}+\vec{GA}[/tex], mais pour montrer que [tex]2\vec{GM}=-\vec{GA}[/tex], il faut bien démontrer que G est l'isobarycentre des points [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] et [tex]C[/tex], n'est-ce pas ?
Et donc démontrer que les médianes sont concourantes en un point [tex]G[/tex] qui vérifie la relation [tex]\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GM}+\vec{GA}[/tex], et la boucle est bouclée.