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PTRK

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Distribution solution d'une équa diff

Bonjour,
Je cherche à refaire un DS donné au Mines (exam distribution et applications 2016) dont je n'ai pas la correction, et je bloque sur une question.

Soit $\phi \in C^\infty_0(\mathbb{R}^2)$, Soit G la distribution définie par son action sur $\phi$ $:\displaystyle <G,\phi>:=\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\phi(t,x)dtdx$, où $H$ est la fonction de Heaviside, $K(t,x):=\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-x^2/(4t)}$.

Je cherche à montrer que $(\partial_t -\partial^2_{x^2})G = \delta_{0,0}$ au sens des distributions.

On y va :
\begin{align}
<(\partial_t -\partial^2_{x^2})G,\phi> &= -<G,(\partial_t +\partial^2_{x^2})\phi>\\
&=-\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}}H(t)\partial_t\phi(t,x)dtdx -\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\partial_{x^2}^2\phi(t,x)dtdx\\
&=-\lim_{\epsilon \rightarrow  0^+}\int_{\mathbb{R}}\int_{t>\epsilon} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}}\partial_t\phi(t,x)dtdx -\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\partial_{x^2}^2\phi(t,x)dtdx\\
&=I_1+I_2
\end{align}

J'hésite entre faire des DL de $\phi(\cdot,x),\phi(t,\cdot)$ voir $\phi(\cdot,\cdot)$,  ou alors une intégration par partie en basculant la dérivé sur le $K$.

Le DL de  $\phi(\cdot,\cdot)$  fait apparaitre $\phi(0,0)$ mais je crée un $\partial_{t^2}^2\phi$ et il me reste ce $K(t,x)H(t)$. Les autres sont plus simples, mais je n'obtiens que $\phi(t,0)$ ou $\phi(0,x)$ et toujours reste ce $K(t,x)H(t)$.

Quelle piste est à privilégier ?

Merci

Dernière modification par PTRK (15-12-2016 11:20:52)

Yassine

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Re : Distribution solution d'une équa diff

Bonjour,
Une suggestion, je ne sais pas si ça mène quelque part :
Trouver d'abord l'équation différentielle vérifiée par $K(t,x)$ (je vois que $\partial_t$ génère un terme $x^2$, lui même généré à par $\partial_{x^2}^2$.
Ensuite, plutôt que de faire un DL, faire une IPP pour transférer les dérivées de $\varphi$ sur $K$ et exploiter la relation qu'on aura trouvée au préalable.

PTRK

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Re : Distribution solution d'une équa diff

Très bonne idée ca me plait !

En effet, $K$ est solution de $(\partial t -\partial^2_{x^2})K = 0 $ sur $\mathbb R^*_+ \times \mathbb R$. Soit au sens des distributions $(\partial t -\partial^2_{x^2})K = \delta_{0,0} $

On peut alors faire une IPP, sachant que $\phi$ est à support compact, on fait sauter les termes de bords.

Je me retrouve donc à résoudre
\begin{align}
<(\partial t -\partial^2_{x^2})G,\phi> &= -\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} K(t,x)(\partial t -\partial^2_{x^2})\phi(t,x)dtdx \\
&=\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} (\partial t -\partial^2_{x^2})K(t,x)\phi(t,x)dtdx \\
&= \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\delta_{0,0} \phi(t,x) dtdx\\
&=   \int_\mathbb{R^2} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \delta_{0,0} H(t) \phi(t,x) dtdx =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \phi(0,0)
\end{align}

C'est presque cà ! Je vais montrer ça à mon directeur pour correction.

Merci beaucoup !

Dernière modification par PTRK (15-12-2016 14:30:26)

Yassine

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Re : Distribution solution d'une équa diff

c'était avec plaisir

Yassine

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Re : Distribution solution d'une équa diff

Quelques petites remarques :

1- Sur les IPP, le fait que $\varphi$ soit à support compact ne permet pas de se débarasser complètement des valeurs aux bornes. La fonction de Heaviside coupe l'intégrale pour $t \ge 0$. Il y a une singularité en $0$, à cause du facteur $\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ dans $K(t,x)$ qu'il faut gérer.

2- Le fait de remplacer $(\partial t -\partial^2_{x^2})K$ par $\delta_{0,0}$ dans l'intégrale et dire que $\int\int f \delta_{0,0} d\mu=f(0,0)$ est plutôt un calcul "mathématiques pour l'ingénieur" !

3- Je pense que le cadre idéal, si tu sais que $(\partial t -\partial^2_{x^2})K = \delta_{0,0}$ au sens des distributions, c'est de raisonner en termes de restriction/extension des distributions. Le fait de restreindre les fonction tests à $\mathbb R^*_+ \times \mathbb R$ via la multiplication par $H$ permet d'étendre la distribution à $\mathbb{R}^2$

PTRK

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Re : Distribution solution d'une équa diff

Quelques petites remarques :

1- Sur les IPP, le fait que $\varphi$ soit à support compact ne permet pas de se débarasser complètement des valeurs aux bornes. La fonction de Heaviside coupe l'intégrale pour $t \ge 0$. Il y a une singularité en $0$, à cause du facteur $\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ dans $K(t,x)$ qu'il faut gérer.

Arf ! J'y retourne !

2- [...] calcul "mathématiques pour l'ingénieur" !

C'est un de mes défaut, vu que je viens d'une formation Math Appli pour Ingé.

c'est de raisonner en termes de restriction/extension des distributions.

En cours, je ne pense pas que j'ai abordé la notion d'extention des distributions, donc là je ne pense rien pouvoir faire.

Dans l'ensemble, merci pour tes commentaires, il faut que je travaille ma rigueur ( c'est pas très marrant ^^ ).

Dernière modification par PTRK (15-12-2016 15:48:01)