Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Quelques petites remarques :

1- Sur les IPP, le fait que $\varphi$ soit à support compact ne permet pas de se débarasser complètement des valeurs aux bornes. La fonction de Heaviside coupe l'intégrale pour $t \ge 0$. Il y a une singularité en $0$, à cause du facteur $\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ dans $K(t,x)$ qu'il faut gérer.

2- Le fait de remplacer $(\partial t -\partial^2_{x^2})K$ par $\delta_{0,0}$ dans l'intégrale et dire que $\int\int f \delta_{0,0} d\mu=f(0,0)$ est plutôt un calcul "mathématiques pour l'ingénieur" !

3- Je pense que le cadre idéal, si tu sais que $(\partial t -\partial^2_{x^2})K = \delta_{0,0}$ au sens des distributions, c'est de raisonner en termes de restriction/extension des distributions. Le fait de restreindre les fonction tests à $\mathbb R^*_+ \times \mathbb R$ via la multiplication par $H$ permet d'étendre la distribution à $\mathbb{R}^2$

Très bonne idée ca me plait !

En effet, $K$ est solution de $(\partial t -\partial^2_{x^2})K = 0 $ sur $\mathbb R^*_+ \times \mathbb R$. Soit au sens des distributions $(\partial t -\partial^2_{x^2})K = \delta_{0,0} $

On peut alors faire une IPP, sachant que $\phi$ est à support compact, on fait sauter les termes de bords.

Je me retrouve donc à résoudre
\begin{align}
<(\partial t -\partial^2_{x^2})G,\phi> &= -\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} K(t,x)(\partial t -\partial^2_{x^2})\phi(t,x)dtdx \\
&=\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} (\partial t -\partial^2_{x^2})K(t,x)\phi(t,x)dtdx \\
&= \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\delta_{0,0} \phi(t,x) dtdx\\
&=   \int_\mathbb{R^2} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \delta_{0,0} H(t) \phi(t,x) dtdx =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \phi(0,0)
\end{align}

C'est presque cà ! Je vais montrer ça à mon directeur pour correction.

Merci beaucoup !

Bonjour,
Je cherche à refaire un DS donné au Mines (exam distribution et applications 2016) dont je n'ai pas la correction, et je bloque sur une question.

Soit $\phi \in C^\infty_0(\mathbb{R}^2)$, Soit G la distribution définie par son action sur $\phi$ $:\displaystyle <G,\phi>:=\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\phi(t,x)dtdx$, où $H$ est la fonction de Heaviside, $K(t,x):=\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-x^2/(4t)}$.

Je cherche à montrer que $(\partial_t -\partial^2_{x^2})G = \delta_{0,0}$ au sens des distributions.

On y va :
\begin{align}
<(\partial_t -\partial^2_{x^2})G,\phi> &= -<G,(\partial_t +\partial^2_{x^2})\phi>\\
&=-\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}}H(t)\partial_t\phi(t,x)dtdx -\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\partial_{x^2}^2\phi(t,x)dtdx\\
&=-\lim_{\epsilon \rightarrow  0^+}\int_{\mathbb{R}}\int_{t>\epsilon} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}}\partial_t\phi(t,x)dtdx -\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\partial_{x^2}^2\phi(t,x)dtdx\\
&=I_1+I_2
\end{align}

J'hésite entre faire des DL de $\phi(\cdot,x),\phi(t,\cdot)$ voir $\phi(\cdot,\cdot)$,  ou alors une intégration par partie en basculant la dérivé sur le $K$.

Le DL de  $\phi(\cdot,\cdot)$  fait apparaitre $\phi(0,0)$ mais je crée un $\partial_{t^2}^2\phi$ et il me reste ce $K(t,x)H(t)$. Les autres sont plus simples, mais je n'obtiens que $\phi(t,0)$ ou $\phi(0,x)$ et toujours reste ce $K(t,x)H(t)$.

Quelle piste est à privilégier ?

Merci