Forum de mathématiques - Bibm@th.net

samo12

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Base

Bonsoir,

J'ai du mal à déterminer une base de ce sous-espace vectoriel de [tex]R^3[/tex] : [tex]B=Vect\{(4,-5,3);(2,3,-2);(4,-16,10);(8,1,-1)\}[/tex]. Merci d'avane

Ostap Bender

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Re : Base

Bonjour Samo.

Rien de tel qu'un pivot de Gauss. Pour des raisons de commodité, j'intervertis les deux premiers vecteurs, et je les écris en colonne.
[tex]\begin{matrix} 2 & 4 & 4 & 8\\ 3 & -5 & -16 & 1 \\ -2 & 3 & 10 & -1 \end{matrix}[/tex]
J'appelle ces vecteurs [tex]C_1[/tex], [tex]C_2[/tex], [tex]C_3[/tex] et [tex]C_4[/tex].
En effectuant [tex]C_2 \leftarrow C_2 - 2*C_1[/tex], [tex]C_3 \leftarrow C_3 - 2*C_1[/tex] et [tex]C_3 \leftarrow C_3 - 4*C_1[/tex], j'obtiens
[tex]\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 3 & -11 & -22 & -11 \\ -2 & 7 & 14 & 7 \end{matrix}[/tex].
Sans avoir besoin de continuer le pivot de Gauss, je peux voir que les trois dernières colonnes sont proportionnelles.
J'en déduis que l'espace engendré par ces quatre vecteurs est de dimension [tex]2[/tex] et que les deux premiers vecteurs en forment une base.

Il n'est pas difficile de voir que deux quelconques des vecteurs de départ forment une base puisqu'ils ne sont pas proportionnels deux à deux.

Bon dimanche,

Ostap Bender.