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loubna.math

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Théorème d'extension de Hahn-Banach

Bonsoir

s'il vous plait comment faire pour démontrer ceci

Soit [tex]F[/tex] un sous ensemble d'un espace normé [tex]E[/tex]  et [tex]g: F\rightarrow \mathbb{R}[/tex] une application linéaire continue,

Comment montrer qu'il existe une application [tex]f: E\rightarrow \mathbb{R}[/tex] linéaire continue tel que [tex] ||f||_{E'}=||g||_{F'}[/tex]

Merci.

Dernière modification par loubna.math (07-04-2016 21:16:53)

Fred

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

Bonjour,

  La preuve est assez difficile. Le mieux, c'est d'ouvrir un livre, ou alors de chercher un lien internet où cela est fait.
Un petit coup de google m'a donné ce document.

F.

loubna.math

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

merci bien pour le pdf , ya la preuve en utilisant un autre théorème de Hahn-Banach.

j'ai juste une petite question pourquoi f prolonge g implique que [tex]||g||\leq ||f||[/tex]

et s'il vous plait comment est défini [tex]||f||_{E'}[/tex]

merci

Fred

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

Si tu reviens à la définition, tu as
[tex]\|f\|=\sup_{x\in E,\ \|x\|=1}|f(x)|\geq \sup_{x\in F,\ \|x\|=1}|f(x)|=\sup_{x\in F,\ \|x\|=1}|g(x)|[/tex].

F.

loubna.math

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

S'il vous plait pour [tex]||f||\leq ||g||[/tex] je comprend que [tex]|f(x)|\leq p(x)=||g||||x||[/tex] mais comment arriver au fait que [tex]||f||\leq ||g||[/tex]

Aussi on dit que [tex]||f(x)||\leq ||f|| ||x||[/tex] lorsque f est linéaire continue ou uniquement linéaire ?

Merci

Dernière modification par loubna.math (24-04-2016 22:38:50)

Fred

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

Bonjour,

  Si tu reviens calmement à la définition de [tex]\|f\|[/tex], à savoir [tex]\|f\|=\sup\{|\|f(x)\|;\ \|x\|=1\}[/tex], tu auras la réponse à tes deux questions. D'ailleurs, peux-tu dire ce que vaut [tex]\|f\|[/tex] si [tex]f[/tex] est linéaire, mais n'est pas continue???

F.

loubna.math

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

Bonsoir, au fait on a[tex] f(x)\leq p(x)[/tex]et si [tex]f(x)\leq 0[/tex], on peut avoir [tex]|f(x)|\geq p(x)[/tex] meme si [tex]p(x)[/tex] est positif donc pourquoi [tex]|f(x)|\leq p(x)[/tex] s'il vous plait

Fred

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

Ca pourrait arriver, mais dans l'application on définit [tex]p(x)=\|x\| \|g\|[/tex], et on a donc [tex] p(-x)=p(x)[/tex].
On a alors dans le cas que tu décris  [tex]0\leq -f(x)=f(-x)\leq p(-x)=p(x)[/tex] ce qui suffit pour conclure.

F.

loubna.math

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

Merci Mr Fred, s'il vous plait j'ai une petite question [tex][\int_0^x f(t) dt]'=f(x)[/tex] ou [tex]f(x)-f(0)[/tex]  sachant que [tex]f\in C([0,1],\mathbb{R})[/tex]

Fred

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Re : Théorème d'extension de Hahn-Banach

Deux remarques :
* dans ce forum, un sujet=une question. Celle-ci n'a rien à voir avec le reste, tu aurais du poster un nouveau sujet.
* comme je suis gentil, je vais te donner une indication pour ton problème : et si tu essayais avec une fonction simple, du type f(t)=1 ou f(t)=t??? Bon, bien sûr, se souvenir que [tex]x\mapsto \int_0^x f(t)dt[/tex] est la primitive de [tex]f[/tex] qui s'annule en 0 donne le résultat.

F.