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#1 26-11-2009 12:17:22
- w@lid
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series numeriques
Bonjour'j'ai un problème avec une série.
Voici l'énoncé:
étudiez la convergence et calculez la somme de la série [tex]\sum^{\infty }_{n=1}\frac{1}{9{n}^{2}_{}-1}[/tex]
Merci de m'aider.
Dernière modification par w@lid (26-11-2009 12:18:52)
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#2 26-11-2009 13:21:45
- freddy
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Re : series numeriques
Salut,
une petite idée : as tu comparé le terme général de ta série avec celui ci [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] ?
Tu pourrais déjà conclure sur sa convergence, je pense.
(...)
Dernière modification par freddy (30-11-2009 09:24:18)
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#3 26-11-2009 13:33:11
- Fred
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Re : series numeriques
Salut,
Je complète le message de Freddy.
Pour déterminer en plus la somme, tu peux remarquer que [tex]9n^2-1=(3n-1)(3n+1)[/tex], puis trouver des constantes a et b telles que
[tex]\frac1{9n^2-1}=\frac{a}{3n-1}+\frac{b}{3n+1}[/tex]
Calcule ensuite une somme partielle de la série, il y a des termes qui vont s'éliminer...
Fred.
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#4 27-11-2009 13:25:48
- miguelthomas
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Re : series numeriques
qui peux me donner des cours sur les serie numerique
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#6 29-11-2009 21:21:38
- Picatshou
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Re : series numeriques
bonsoir tevuac,
tu met 1/2 en facteur donc tu aura [tex]\sum^{n}_{k=1}[/tex]((1/3k-1)-(1/3k+1)) ,tu change le compteur pour chaque quotient pour obtenir que 3k au dénominateur tu aura donc plusieurs simplifications,et enfin,tu fait tendre n vers l'infini(tu trouvera une limite finie).
J'espère que c'est clair maintenant?
Bon courage!
Dernière modification par Picatshou (29-11-2009 21:23:14)
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#7 29-11-2009 21:51:00
- Fred
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Re : series numeriques
Bonsoir,
Mea culpa, ce n'est pas télescopique, et c'est beaucoup plus difficile. On peut toutefois y arriver de la façon suivante :
On remarque que [tex]\frac{1}{3n-1}=\int_0^1 t^{3n-2}dt[/tex]
et [tex]\frac1{3n+1}=\int_0^1 t^{3n}dt.[/tex]
Si on note [tex]S_n[/tex] la somme partielle d'ordre n de la série, on obtient alors :
[tex]S_n=\frac12\sum_{k=1}^{n}\int_0^1 t^{3n-2}(1+t^2)dt=\frac12\int_0^1 \frac{t-t^{3n+1}}{1-t^3}(1-t^2)dt.[/tex]
On fait tendre n vers l'infini, et on obtient, modulo le théorème de convergence dominée (par exemple), que la somme de la série est égale à
[tex]\frac12\int_0^1 \frac{t(1-t^2)}{1-t^3}dt=\frac12\int_0^1 \frac{t(1+t)}{1+t+t^2}dt[/tex]
(tout cela aux erreurs de calcul près, bien sûr!).
Il reste une dernière intégrale à calculer, que l'on sait calculer, mais que j'ai la flemme de calculer!
A+
Fred.
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#9 29-11-2009 22:58:56
- freddy
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Re : series numeriques
Salut,
je pense qu'on peut faire un "poil" mieux.
On sait que la série numérique est positive, croissante et majorée par une série convergente, elle est donc convergente.
On sait aussi que tout se ramène au calcul de la somme égale à :
[tex]S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}\times \sum_{p=1}^n (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+1})[/tex]
On sait qu'on peut encadrer cette somme sous la forme :
[tex]\frac{1}{2} \int _2^\infty} (\frac{1}{3x-1} - \frac{1}{3x+1})dx\le S-\frac{1}{8} \le \frac{1}{2} \int _1^\infty} (\frac{1}{3x-1} - \frac{1}{3x+1})dx[/tex]
ce qui, tout compte fait, donne : [tex]0,125+\frac{\ln{\frac{7}{5}}}{6} \le S \le 0,125+ \frac{ln2}{6}[/tex], sauf erreur.
Bb
Dernière modification par freddy (29-11-2009 23:46:58)
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#11 29-11-2009 23:11:47
- Fred
- Administrateur
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Re : series numeriques
Bonsoir Freddy,
Comment passes-tu de la somme à l'intégrale???
Bonsoir Picatshou,
Simplement, tu ne peux pas faire un changement d'indice qui te ramène à 3k car justement tu as un 3 devant le k. Si tu changes k en k+1 ou k-1, tu changeras 3k+1 en 3k+4 ou 3k-2, pas en 3k.
Fred.
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#12 29-11-2009 23:35:12
- freddy
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Re : series numeriques
Salut Fred,
je me suis inspiré d'un résultat sur l'équivalence entre l'intégrale impropre de la fonction continue et décroissante sur [1, l'infini [ f(x) et une série numérique de terme général f(n) Toutefois, mon résultat est faux.
j'ai corrigé plus haut.
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#13 30-11-2009 09:21:14
- freddy
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Re : series numeriques
Bonjour,
l'intégrale conclusive de Fred qui donne la somme de la série vaut :
[tex]\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{18}\pi = 0,1977[/tex]
Bravo !
Mon encadrement est trop large et son raisonnement lumineux.
Bb
Dernière modification par freddy (30-11-2009 09:23:29)
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