Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

l'intégrale conclusive de Fred qui donne la somme de la série vaut :

[tex]\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{18}\pi = 0,1977[/tex]

Bravo !

Mon encadrement est trop large et son raisonnement lumineux.

Bb

Bonsoir Freddy,

Comment passes-tu de la somme à l'intégrale???

Bonsoir Picatshou,

  Simplement, tu ne peux pas faire un changement d'indice qui te ramène à 3k car justement tu as un 3 devant le k. Si tu changes k en k+1 ou k-1, tu changeras 3k+1 en 3k+4 ou 3k-2, pas en 3k.

Fred.

Salut,

je pense qu'on peut faire un "poil" mieux.

On sait que la série numérique est positive, croissante et majorée par une série convergente, elle est donc convergente.

On sait aussi que tout se ramène au calcul de la somme égale à :

[tex]S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}\times \sum_{p=1}^n (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+1})[/tex]

On sait qu'on peut encadrer cette somme sous la forme :

[tex]\frac{1}{2} \int _2^\infty} (\frac{1}{3x-1} - \frac{1}{3x+1})dx\le S-\frac{1}{8} \le  \frac{1}{2} \int _1^\infty} (\frac{1}{3x-1} - \frac{1}{3x+1})dx[/tex]

ce qui, tout compte fait, donne : [tex]0,125+\frac{\ln{\frac{7}{5}}}{6} \le S \le 0,125+ \frac{ln2}{6}[/tex], sauf erreur.

Bb

Bonsoir,

  Mea culpa, ce n'est pas télescopique, et c'est beaucoup plus difficile. On peut toutefois y arriver de la façon suivante :
On remarque que [tex]\frac{1}{3n-1}=\int_0^1 t^{3n-2}dt[/tex]
et [tex]\frac1{3n+1}=\int_0^1 t^{3n}dt.[/tex]

Si on note [tex]S_n[/tex] la somme partielle d'ordre n de la série, on obtient alors :
[tex]S_n=\frac12\sum_{k=1}^{n}\int_0^1 t^{3n-2}(1+t^2)dt=\frac12\int_0^1 \frac{t-t^{3n+1}}{1-t^3}(1-t^2)dt.[/tex]

On fait tendre n vers l'infini, et on obtient, modulo le théorème de convergence dominée (par exemple), que la somme de la série est égale à
[tex]\frac12\int_0^1 \frac{t(1-t^2)}{1-t^3}dt=\frac12\int_0^1 \frac{t(1+t)}{1+t+t^2}dt[/tex]
(tout cela aux erreurs de calcul près, bien sûr!).
Il reste une dernière intégrale à calculer, que l'on sait calculer, mais que j'ai la flemme de calculer!

A+
Fred.

Bonsoir ,
C'est encore moi!
Je ne vois pas les termes qui vont s'éliminer . J'ai trouvé a=1/2 et  b= -1/2  mais après je bloque
Merci d'avance

Salut,

  Je complète le message de Freddy.
Pour déterminer en plus la somme, tu peux remarquer que [tex]9n^2-1=(3n-1)(3n+1)[/tex], puis trouver des constantes a et b telles que
[tex]\frac1{9n^2-1}=\frac{a}{3n-1}+\frac{b}{3n+1}[/tex]
Calcule ensuite une somme partielle de la série, il y a des termes qui vont s'éliminer...

Fred.

Bonjour'j'ai un problème avec une série.
Voici l'énoncé:
étudiez la convergence et calculez la somme de la série  [tex]\sum^{\infty }_{n=1}\frac{1}{9{n}^{2}_{}-1}[/tex]
Merci de m'aider.