Forum de mathématiques - Bibm@th.net

merci pour cette éclairage, effectivement c'était simple.
il faudrait maintenant imaginer graphiquement une succession d'étagère de triangle droit dans une pyramide à l'infini.
merci à vous

Bonjour,

Chaque terme d'une suite de Fibonacci est par définition la somme des deux précédents; il vient par conséquent pour quatre termes consécutifs (a, b, c, d): c = a + b et d = b + c = a + 2b .

Considérons dès lors les grandeurs X= ad, Y = 2bc et Z = b² + c² ; il vient en développant les expressions des carrés:

X² = [a(a + 2b)]² = [a² + 2ab]² = a⁴ + 4a³b + 4a²b² ;
Y² = 4b²c² = 4b²(a + b)² = 4a²b² + 8ab³ + 4b⁴ ;
Z² = (b² + c²)² = (a² + 2ab + 2b²)² = a⁴ + 4a²b² + 4b⁴ + 4a³b + 8ab³ + 4a²b²

soit encore en ordonnant les termes:

Z² = a⁴ + 4a³b + 8a²b² + 8ab³ + 4b⁴ .

On vérifie aisément que le calcul de la somme (X² + Y²) conduit à une expression identique.

Ainsi se vérifie la relation X² + Y² = Z² , qui fait du triplet (X, Y, Z) un triplet pythagoricien.

Une vérification numérique rapide peut être effectuée sur calculatrice, par le calcul programmé de la grandeur g = X² + Y² - Z² , qui apparaît systématiquement nulle quel que soit le rang des termes impliqués, pourvu qu'il s'agisse d'une suite de Fibonacci, caractérisée par la relation u_k = u_k-1 + u_k-2 .
Exemples: la suite dont tu as envisagé le début (a, b, c, d) = (1, 1, 2, 3)
ou encore une autre commençant par (a, b, c, d) = (4, 7, 11, 18).

Disposes-tu d'une calculatrice programmable ? Elle permet des calculs très rapides, et tu gagnerais beaucoup à savoir l'employer.

PS: des vérifications analogues sont certainement possibles sur tableur Excell