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maxence_07

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La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Bonjour à tous,

J'aurai besoin de quelques éclaircissements concernant le fait que la convergence simple n'est pas issue d'une norme. Comment peut-on concevoir le fait qu'une valeur se rapproche d'une autre sans aucune considération normique ?

Par exemple, si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite de fonctions, on ne peut pas dire "la convergence simple c'est la convergence de la suite de fonctions pour la norme etc..."

Pourriez-vous m'éclairer ?

Bien respectueusement.

bridgslam

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Bonjour,

Il n'est pas difficile de trouver une suite de fonctions qui seraient  de norme 1, mais tendant vers O pour la convergence simple, si une telle norme existait. Contradiction.

Sinon ce n'est pas pareil de concevoir que des points, isolément, tendent vers des points limites, au moyen dun chiffrement numérique , que de concevoir ce rapprochement globalement,
c'est-à-dire au niveau des fonctions.
Point par point cela peut présenter trop d'irrégularités, en quelque sorte, pour aboutir à une prise en compte numérique globale.

Bonne journée
A.

Dernière modification par bridgslam (24-11-2024 10:52:11)

maxence_07

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Merci à vous pour cette réponse.

Alors comment définit-on le fait qu'une "convergence est issue d'une norme" ?

La notion est encore floue puisque si l'on prend la définition de la convergence simple d'une fonction à valeurs dans un espace métrique :

Une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de fonctions converge simplement sur $A$ vers une fonction $f$ si et seulement si

$$\forall x \in A \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad (n \geq N_{\varepsilon,x} \implies d(f_n(x), f(x)) < \varepsilon)$$

$d$ est clairement une distance sur l'espace d'arrivé de $f$ mais une distance est bien utilisée pour évaluer la limite du nombre $f_n(x)$ vers $f(x)$.

Dernière modification par maxence_07 (24-11-2024 12:28:37)

Eust_4che

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Bonjour à tous et à toutes,

La notion n'est pas du tout flou. Mais j'ai l'impression que tu confonds "convergence issue d'une norme" et "convergence issue d'une distance". Si l'on dispose d'une topologie qui est issue d'une distance, on dit que la topologie est "métrisable". Le fait de savoir sous quelle(s) hypothèse(s) une topologie est métrisable est une question qui à grandement déterminée les recherches en topologie au début du siècle dernier. Il en a résulté toute un catégorisation des espaces topologiques (espaces séparés, espaces réguliers, espaces complement réguliers, espaces normaux, espaces de Lindelöf, etc.).

La notion de norme, elle, suppose déjà que l'on parte d'un espace vectoriel. Dans ce cas, une question qu'on pourrait se poser est la suivante : si je dispose d'une topologie sur mon espace vectoriel pour laquelle les opérations usuelles (addition et multiplication par un scalaire) sont continues, découle-t-elle d'une distance, d'une norme ?

La réponse à la première question est connue. Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que la topologie soit séparée et que le point $\{ 0 \}$ possède un système fondamental dénombrable de voisinage.

Je ne connais pas, en toute généralité, la réponse à la deuxième question. En revanche, si l'on impose à la topologie d'être localement convexe (ce qui est le plus souvent le cas), il suffit que la topologie soit métrisable et localement borné (mais la notion de parties bornées est propre aux espaces vectoriels topologiques. Il ne s'agit pas de la notion usuelle de parties bornées "pour une distance").

Edit : Lorsque l'espace de départ est dénombrable, la topologie de la convergence simple est bel est bien métrisable. Lorsque l'espace d'arrivée est un espace vectoriel normé, pour qu'elle est soit normable, il faut et il suffit que l'espace soit fini.
E.

Dernière modification par Eust_4che (24-11-2024 14:04:17)

maxence_07

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Quand je disais que la notion était floue, sous-entendu pour moi.

J'ai compris la démonstration par l'absurde de Bridgslam.

Donc dire que la convergence simple ne peut pas être induite par une norme signifie qu'il n'existe aucune norme $N$ sur l'espace des fonctions telle que la convergence simple d'une suite de fonctions $f_n \rightarrow f$ équivaut à la condition $N(f_n , f ) \rightarrow 0$ ?

En fait, je ne vois pas pourquoi la convergence uniforme est issue d'une norme alors que la simple non, mais font toutes les deux appel, de manière similaire, à la notion de distance dans leurs définitions.

Dernière modification par maxence_07 (24-11-2024 14:50:45)

Eust_4che

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

J'image qu'il est question de fonctions définies dans un intervalle de $\mathbf{R}$.

Dans ce cas, il n'existe pas de distance, et encore moins de norme, définissant la topologie de la convergence simple. Il n'existe aucune distance $d$ telle que l'on ait $d(f, f_n) \rightarrow 0$, si et seulement si, $(f_n) \rightarrow f$ simplement.

L'existence d'une distance sur l'espace d'arrivée est requise pour parler de la convergence simple et uniforme de fonctions. C'est tout.

L'exemple donné par bridgslam fonctionne parce que l'espace de départ n'est pas dénombrable. Si l'espace est dénombrable, par exemple si c'est $\mathbf{N}$, et si $d$ est une distance sur l'espace d'arrivée, l'application
\begin{equation*}
(f, g) \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{\max(d(f(n), g(n)), 1)}{2^n}
\end{equation*}
est une distance définissant la topologie de la convergence simple.

maxence_07

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Je comprends mieux !

Auriez-vous des références à me communiquer afin d'approfondir le sujet ? La plupart des cours et bouquins que j'ai ne mentionne pas ces subtilités.

Merci.

maxence_07

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Cela éclairci déjà un peu ma problématique.

Mais pour dire que la suite $(f_n(x))_n$ tend vers $f(x)$, il faut définir en quelque sorte une distance, un moyen de mesurer à quel point $(f_n(x))_n$ est proche de $f(x)$. Comment savoir si quelque chose se rapproche d'une autre chose sans avoir défini une quelconque manière de mesurer ?

DeGeer

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Bonjour
Il faut savoir sur quoi on travaille pour éviter toute confusion. Les fonctions $f_n$ appartiennent par exemple à $\mathcal{C}([a,b])$, l'espace des fonctions continues sur le segment $[a,b]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$. Il y a plusieurs manières de définir la convergence sur cet espace. Par exemple la topologie issue de la norme infinie, qui correspond à la convergence uniforme.
Les $f_n(x)$, eux, appartiennent au corps de base, $\mathbb{R}$, muni de sa norme usuelle, c'est-à-dire la valeur absolue.

maxence_07

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Prenons cet exemple :

On se place dans l'espace vectoriel normé $(\mathcal{M}_n(K), \| . \|)$ où pour $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(K)$ : $\lVert A \rVert = \sqrt{\sum _{i,j=1} ^n a_{i,j}}$. On munit $\mathcal{M}_n(K)$ de la topologie issue de la norme.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$. La suite $A_k =A + \frac{1}{k}I_n$ converge simplement vers $A$.

En effet,
$$\|A_k - A\| = \left\| -\frac{1}{k}I_n \right\| = \frac{1}{k} \|I_n\| \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$$

On vient de démontrer une convergence ponctuelle avec la norme de l'énoncé... Comment la convergence simple ne peut pas être issue d'une norme ?

bridgslam

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Bonsoir ,

Il y a des erreurs dans votre expression de norme matricielle.
Et je ne vois pas le rapport avec votre questionnement initial.

J'ai par ailleurs l'impression que vous attachez une propriété absolue à la notion de convergence, alors qu'elle n'a de sens que  dans le contexte d'une norme donnée, surtout dans les espaces de dimensions infinies.
Il ne faut pas voir cela comme une vertu  intrinsèque à la suite de vecteurs considérée.
Dans des contextes plus généraux, on parle aussi de convergence avec la notion de voisinages et de filtres, sans aucun support numérique de normes ni de distance.

Alain

maxence_07

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Ce que je viens d’écrire est tiré d’un cours de Marc Sage à l’Ecole Normale Supérieure d’Ulm. Je vous saurai gré de corriger les éventuelles erreurs commises si vous en trouvez.

Ce que vous soulevez est bien mon problème. Je ne considère absolument pas la convergence comme une propriété intrinsèque. Elle n’a effectivement du sens que si une norme lui est associée. D’où ma question : pourquoi la convergence n’est pas issue d’une norme ? En particulier, on définit la topologie de la convergence simple par la topologie des produits infinis.

Fred

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Bonjour,

  Lorsque tu écris que $\|A_k-A\|\to 0,$ tu démontres plus que la convergence simple : tu démontres la convergence pour la norme de $\mathcal M_n(K),$ qui entraîne la convergence simple, c'est-à-dire que $\|A_kX-AX\|\to 0$ pour tout $X\in K^n.$ Il se trouve que sur $\mathcal M_n(K),$ la convergence simple est équivalente à la convergence pour la norme de $\mathcal M_n(K)$ : c'est une conséquence du fait que l'on travaille avec des applications linéaires en dimension finie. Si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $K^n,$ il suffit que $A_k(e_i)\to A(e_i)$ pour que $\|A_k-A\|\to 0.$ Donc dans ce cas, pour n'importe quelle norme sur $\mathcal M_n(K)$, $(A_k)$ converge simplement vers $A$ si et seulement si $\|A_k-A\|\to 0.$

  Mais ceci n'est pas vrai en toute généralité. Prenons par exemple l'espace vectoriel $E=\mathcal B(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions bornées de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ et considérons $\|\cdot\|$ une norme sur $E$. Posons $f_n=\mathbf 1_{[1/2n,1/n]}$ et $g_n=f_n/\|f_n\|.$ Alors $\|g_n\|=1$ (et donc $(g_n)$ ne converge pas vers $0$ vers la fonction nulle) alors que la suite $(g_n)$ converge simplement vers la fonction nulle (phénomène de bosse glissante).

F.

maxence_07

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Merci, votre réponse m’a bien éclairé.

Fred

Administrateur

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Re-

  On peut aussi faire la même chose avec des distances, mais c'est plus difficile. Imaginons qu'il existe une distance $d$ sur $E=\mathcal B([0,1],\mathbb  R)$ telle que, pour toute suite $(f_n)$ et toute fonction $f,$ $(f_n)$ converge simplement vers $f$ si et seulement si $d(f_n,f)\to 0.$ Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, on pose
$$\varepsilon_n(x)=\sup_{d(f,0)<1/n} |f(x)|.$$
Eventuellement, $\varepsilon_n(x)=+\infty$ mais on peut quand même prouver que, pour tout $x\in X,$, $\varepsilon_n(x)\to 0.$
Si ce n'est pas le  cas, il existe $\delta>0$ et une suite $(n_k)$ tendant vers $+\infty$ telle que $\varepsilon_{n_k}(x)\geq \delta.$
Ceci implique qu'il existe $f_k\in E$ tel que $d(f_k,0)<1/n_k$ et $|f_{n_k}(x)|\geq\delta.$ Puisque $d(f_k,0)\to 0,$ la suite $(f_k)$ converge simplement vers $f$ et il y a une contradiction.

Ainsi, si on pose $X_n=\{x\in[0,1]:\ \varepsilon_n(x)\leq 1/2\},$ on sait que $[0,1]=\bigcup_{n\geq 1}X_n.$
C'est ici qu'on utilise la non-dénombrabilité de $[0,1]$ mentionné par Eust_4che plus haut : un des $X_n$ est infini.
On peut donc construire une suite strictement croissante $(a_k)$ contenue dans $X_n$ (ou une suite strictement décroissante, éventuellement). On considère alors $f_k=\mathbf 1_{[a_k,a_{k+1}]}$ qui converge simplement vers $0$ (toujours une bosse glissante).
Mais puisque $f_k(a_k)\geq 1,$ on a forcément $d(f_k,0)\geq 1/n$.

F.

bridgslam

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Bonjour,

Ce que je viens d’écrire est tiré d’un cours de Marc Sage à l’Ecole Normale Supérieure d’Ulm. Je vous saurai gré de corriger les éventuelles erreurs commises si vous en trouvez.

Il y a plus précisément deux soucis, l' expression n'est pas cohérente ( les matrices ont $n^2$ éléments, vous indicez sur 2 indices, et d'autre part vous prenez la racine carrée d'une somme qui n'est pas garantie positive, si réelle, ou qui n'est pas forcément réelle si le corps est celui des complexes).
Peut-être un module autour des coefficients de la matrices a-t-il était shunté ?

Alain

Dernière modification par bridgslam (25-11-2024 09:42:02)

maxence_07

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Merci pour vos réponses.

Quant à l'erreur d'énoncé (oubli du carré sur les termes dans la somme afin de prendre la norme de Frobenius), je transmettrai à M. SAGE.
Bonne soirée.

bridgslam

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Re : La convergence simple n'est pas issue d'une norme.

Bonsoir,

ok, du coup cela revient à la norme euclidienne en dimension $n^2$, on retrouve ses petits.

Bonne soirée
A.